DawoumWiki

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/원의_방정식(수학1) Main article: circle 원(circle) 은 단순한 닫힌 모양입니다. 주어진 점, 중심(center)으로부터 주어진 거리에 있는 평면 위의 모든 점들의 집합입니다. 등가적으로 주어진 점으로부터의 거리가 일정하도록 움직이는 점의 자취입니다. 원주 위의 임의의 점과 중심 사이의 거리를 반지름(radius)이라고 합니다. 원은 평면을 두 개의 영역, 즉 내부(interior)와 외부(exterior)로 나누는 단순한 닫힌 곡선입니다. 일상 언어에서, 용어 "원"은 그림의 경계와 그의 내부 모두를 가리키는 것으로 사용될 수 있습니다; 엄격한 언어에서는, 원은 오직 경계일 뿐이며 내부를 포함항 때의 그림은 디스크(disc) 라고 부릅니다. 표준형 좌표평면 위에 점 \(\mathrm C(a,b)\)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 \(r\)인 원 위의 임의의 점을 \(\mathrm P(x,y)\)라 하면, \(\mathrm{PC}=r\)이므로 다음의 식을 만족합니다. \(\quad\)\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\) 위 식의 양변을 제곱한 식을 원의 방정식의 표준형 이라고 합니다. \(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 일반형 원의 방정식의 표준형을 전개해서 정리하면 다음과 같습니다. \(\quad\)\(x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\) 위 식을 좀 더 일반적으로 형태로 나타낸 것이 원의 방정식의 일반형 입니다. \(\quad\)\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) 이 식의 특징은 \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수가 같고, \(xy\)항이 없으며, \(x,y\)에 대한 이차방정식이라는 점입니다. 일반형을 표준형으로 만들 때에는 다음과 같이 변형할 수 있습니다. \(\quad\)\(\displaystyle\left(x^2+Ax+\frac{A^2}{4...

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/점과_직선_사이의_거리 Main article: Distance from a point to a line 점과 직선 사이의 거리 는 직선 위에 있지 않는 점에서 직선에 이르는 최단거리를 말합니다. 즉, 좌표평면 위의 한 점 \(\mathrm P\)에서 점 \(\mathrm P\)를 지나지 않는 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm H\)라 할 때, 수선 \(\mathrm{PH}\)를 점 \(\mathrm P\)와 직선 \(l\) 사이의 거리 라고 합니다. 점 \(\mathrm P(x_1,y_1)\)과 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle d=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 이 과정을 통해 배운 것은 3차원 공간에서는 평면과 평면 위에 있지 않은 한 점 사이의 거리 로 확장이 됩니다. 이후 과정에서는 벡터를 통해 증명을 하지만, 결과는 단지 변수만 한 개 더 추가됨을 볼 수 있습니다. 이런 것이 직교좌표계의 최대 장점이라고 볼 수 있습니다. 증명 점 \(\mathrm P\)의 좌표를 \(\left(x_1,y_1\right)\), 수선의 발 \(\mathrm H\)의 좌표를 \(\left(x_2,y_2\right)\), 직선 \(l\)의 방정식을 \(\quad\)\(ax+by+c=0\quad\cdots (1)\) 이라 할 때, 점 \(\mathrm P\)와 직선 \(l\) 사이의 거리를 다음과 같이 구해집니다. 먼저 \(a\neq 0, b\neq 0\)일 때, 직선 \(\mathrm{PH}\)는 직선 \(l\)에 수직이므로, 직선 \(\mathrm{PH}\)의 기울기는 \(\displaystyle \frac{b}{a}\)이고, 점 \(P\left(x_1,y_1\right)\)을 지나므로 직선 \(\mathrm{PH}\...

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/두_직선의_위치_관계 See also: Distance between two straight lines 두 도형의 위치 관계 에 따라 좌표평면 위의 두 직선 \(l_1, l_2\)의 위치 관계는 실근의 존재(교점) 유무에 따라 세 가지 경우로 나누어집니다. 한 점에서 만나는 경우 : 실근 1개 서로 겹치는 경우 : 실근이 무수히 많음 : 일치 서로 만나지 않는 경우 : 실근이 없음 : 평행 표준형 직선의 방정식 표준형으로 주어졌을 때, 위의 3가지를 판별하는 방법은 무엇일까요? 교점의 문제는 연립방정식을 푸는 문제와 같기 때문에 연립일차방정식 에서 해법을 찾을 수 있습니다. \(\quad\)\(\left\{\begin{align} l_1:\;y=m_1x+n_1 & \cdots(1) \\ l_2:\;y=m_2x+n_2 & \cdots(2) \end{align}\right.\) 식을 변변 빼서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다. \(\quad\)\((m_1-m_2)x=(n_2-n_1)\) 이제 이 식은 일차방정식 으로 변했습니다. 일차방정식의 3가지 경우를 적용하면 다음과 같습니다. \(\quad\)i) \(m_1\neq m_2\) : 기울기가 다름 : 교점 1개 \(\quad\)ii) \(m_1=m_2, n_1 = n_2\) : 기울기 같고, y절편 같음 : 일치 \(\quad\)iii) \(m_1=m_2, n_1\neq n_2\) : 기울기 같고, y절편 다름 : 평행 일반형 직선의 방정식이 일반형으로 주어진 경우에는 표준형으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 표준형으로 바꿀 수 없는 직선은 매우 예외적인 경우이므로 별도로 사고해도 크게 무리가 없습니다 . \(\quad\)\(\left\{\begin{align} l_1:\;a_1x+b_1y+c_1=0 &...

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/직선의_방정식(수학1) 일차함수 에서 직선의 방정식에 대해 알아보았습니다. 몇 가지 중요한 직선의 방정식은 다음과 같은 것이 있습니다. 표준형 : \(y=mx+n\) \(x\)축에 평행한 직선 : \(y=a\), 특히 \(y=0\) (\(x\)축) \(y\)축에 평행한 직선 : \(x=a\), 특히 \(x=0\) (\(y\)축) 직선의 방정식의 일반형 표준형은 직선의 특징을 잘 나타내는 것을 선택하며, 일반형은 모든 것을 다 나타낼 수 있어야 합니다. 직선의 방정식 표준형에서는 \(x=a\)와 같은 직선을 표현할 수 없습니다. 다음의 식이 직선의 방정식의 일반형입니다. \(\quad\)\(ax+by+c=0\; (a\neq 0\) 또는 \(b\neq 0)\) 직선의 방정식 만들기 이전 과정에서는 직선의 방정식을 구할 때에는 표준형을 이용했습니다. 표준형은 기울기와 y절편 을 이용하는 사고를 했습니다. 반면에 여기서는 주로 기울기와 지나가는 점 을 이용합니다. 기울기가 주어지는 경우 기울기 \(m\)이 주어질 때에는 다음과 같이 식을 세웁니다. \(\quad\)\(y=mx+n\) 지나가는 점이 주어지는 경우 지나는 점 \((x_1,y_1)\)이 주어지는 경우에는 다음과 같이 식을 세웁니다. \(\quad\)\(y-y_1=m(x-x_1)\) 지나가는 점은 부정방정식(직선)의 해집합의 하나이므로 항상 식을 만족합니다. 이는 표준형 \(y=mx+n\)에 지나가는 점 \((x_1,y_1)\)을 대입해서 \(n\)를 구한 후에 다음과 같이 식을 변형한 것입니다. \(\quad\)\(\begin{align} &y_1=mx_1+n\\ &n=y_1-mx_1 \\ &y=mx+y_1-mx_1 \\ &\therefore (y-y_1)=m(x-x_1) \end{align}\) 이 식은 마치 부정방정식의 한 근을 인수로 바꾼 것과 같은 형태를 띕니다....

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/각의_등분선 See also: Angle bisector theorem 중선 정리 와 함께 간혹 혼동되는 것이 각의 이등분선입니다. 여기서는 일반적인 각의 등분선의 특징에 대해 논의를 하고, 자주 이용되는 각의 이등분선에 대해 결과를 알아보겠습니다. 내각의 등분선 \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm A\)를 \(\angle \alpha\)와 \(\angle \beta\)로 나누어진다고 할 때, \(\triangle \mathrm{ABN}\)의 넓이 \(\mathrm S_1\)과 \(\triangle \mathrm{ACN}\)의 넓이 \(\mathrm S_2\)는 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle \mathrm S_1=\frac{1}{2}\mathrm{AB\cdot AN}\sin\alpha\) \(\quad\)\(\displaystyle \mathrm S_2=\frac{1}{2}\mathrm{AC\cdot AN}\sin\beta\) 한편, \(\triangle \mathrm{ABN}\)과 \(\triangle \mathrm{ACN}\)의 꼭짓점 \(\mathrm A\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm H\)라 하면, 높이 \(\mathrm{AH}\)가 서로 같기 때문에 밑변의 비가 곧 넓이의 비입니다. \(\quad\)\(\mathrm S_1:\mathrm S_2=\mathrm{BN}:\mathrm{CN}\) \(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB\cdot AN}\sin\alpha:\frac{1}{2}\mathrm{AC\cdot AN}\sin\beta=\mathrm{BN}:\mathrm{CN}\) \(\quad\)\(\mathrm{AB}\sin\alpha:\mathrm{AC}\sin\beta=\mathrm...

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/삼각형의_무게중심 Main article: Centroid 삼각형의 무게 중심 (center of gravity)은 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 꼭짓점의 대변의 중점을 연결한 선분(중선)의 교점을 말합니다. 삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 \(2:1\)로 내분합니다. 이 특징을 이용해서 삼각형의 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 무게중심의 좌표를 구해보겠습니다. \(\triangle\mathrm{ABC}\)의 세 꼭짓점의 좌표가 \(\quad\)\(\mathrm A(x_1,y_1), \mathrm B(x_2,y_2), \mathrm C(x_3,y_3)\) 로 주어졌을 때, 선분 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm M\)은 수직선 위의 내분점 에 따라 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle\mathrm M\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)\) 또한, 선분 \(\mathrm{AM}\)을 \(2:1\)로 내분하는 무게중심 \(\mathrm G\)의 좌표는 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle\mathrm G\left(\frac{2\cdot\frac{x_2+x_3}{2}+x_1}{2+1},\frac{2\cdot\frac{y_2+y_3}{2}+y_1}{2+1}\right)\) 그러므로 삼각형의 무게중심 \(\mathrm G\)의 좌표는 다음과 같습니다. \(\quad\)\(\displaystyle\mathrm G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) 기억할 만한 것 삼각형의 각 변을 같은 방향으로 같은 비율로 내분한 세 점으로 이루어지는 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 동일합니다. 또한 같은 방법으로 외분한 점들로 구성된 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다. 한마디로 별도로 계...

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/좌표평면_위의_내분점과_외분점 내분점과 외분점 의 정의에 따라 1차원인 수직선 위의 내분점과 외분점 을 알아보았습니다. 이제 이를 확장해서 2차원인 좌표평면 위의 내분점과 외분점을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다. 아래의 결과를 보면, 내분점(또는 외분점)의 구하는 식은 같은 것을 사용하고, 단지 \(x,y\) 좌표 각각에 대해 연산을 수행합니다. 이런 것은 직교좌표계의 장점 중에 하나입니다. 나중에 배우는 3차원 공간에서도 여전히 같은 수식을 사용하는데, 단지 \(z\) 좌표를 더할 뿐입니다. 내분점 좌표평면 위의 두 점 \(\quad\)\(\mathrm A(x_1,y_1), \mathrm B(x_2,y_2)\) 을 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\;(m>0,n>0)\)으로 내분하는 점 \(\mathrm P\)의 좌표 \((x,y)\)는 다음과 같이 구해집니다. 점 \(\mathrm{A,B,P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{A',B',P'}\)라고 하면, 음영진 두 삼각형의 닮음으로 인해서, \(\quad\)\(\begin{align}\mathrm{AP:BP} &\mathrm{=A'P':B'P'}\\ &=m:n \end{align}\) 이므로 점 \(\mathrm P'\)은 \(x\)축 위의 선분 \(\mathrm{A'B'}\)을 \(m:n\)으로 내분합니다. 그러므로 수직선 위의 내분점 에 따라 \(\mathrm P'\)의 \(x\)좌표는 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\) 마찬가지로, \(\mathrm P\)의 \(y\)좌표도 다음과 같이 구해집니다. \(\quad\)\(\displaystyle\therefore y=\frac{my_...