점과 직선 사이의 거리

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점과 직선 사이의 거리는 직선 위에 있지 않는 점에서 직선에 이르는 최단거리를 말합니다. 즉, 좌표평면 위의 한 점 \(\mathrm P\)에서 점 \(\mathrm P\)를 지나지 않는 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm H\)라 할 때, 수선 \(\mathrm{PH}\)를 점 \(\mathrm P\)와 직선 \(l\) 사이의 거리라고 합니다.

점 \(\mathrm P(x_1,y_1)\)과 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle d=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

이 과정을 통해 배운 것은 3차원 공간에서는 평면과 평면 위에 있지 않은 한 점 사이의 거리로 확장이 됩니다. 이후 과정에서는 벡터를 통해 증명을 하지만, 결과는 단지 변수만 한 개 더 추가됨을 볼 수 있습니다. 이런 것이 직교좌표계의 최대 장점이라고 볼 수 있습니다.

증명

점 \(\mathrm P\)의 좌표를 \(\left(x_1,y_1\right)\), 수선의 발 \(\mathrm H\)의 좌표를 \(\left(x_2,y_2\right)\), 직선 \(l\)의 방정식을

\(\quad\)\(ax+by+c=0\quad\cdots (1)\)

이라 할 때, 점 \(\mathrm P\)와 직선 \(l\) 사이의 거리를 다음과 같이 구해집니다.

먼저 \(a\neq 0, b\neq 0\)일 때, 직선 \(\mathrm{PH}\)는 직선 \(l\)에 수직이므로, 직선 \(\mathrm{PH}\)의 기울기는 \(\displaystyle \frac{b}{a}\)이고, 점 \(P\left(x_1,y_1\right)\)을 지나므로 직선 \(\mathrm{PH}\)의 방정식은 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle y-y_1=\frac{b}{a}(x-x_1)\)

이것을 분모가 없도록 정리한 식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\quad \cdots (2)\)

만약 \(a=0\)인 경우의 수직인 직선의 방정식은 어떻게 될까요? 이때에는 원래의 \(\displaystyle y=-\frac{c}{b}\)로 \(x\)축에 평행한 직선입니다. 그러므로 수직인 직선의 방정식은 \(y\)축에 평행한 방정식으로 \(x=x_1\)으로 표시됩니다.

또한, 같은 방법을 이용하면 \(b=0\)인 경우에 수직인 직선의 방정식은 \(y=y_1\)으로 나타낼 수 있습니다.

그러므로 (2)식은 점 \(\mathrm P\)를 지나면서 직선 (1)에 수직인 직선의 방정식의 모든 경우를 나타낼 수 있습니다. 또한, 이 직선은 점 \(\mathrm H(x_2,y_2)\)를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(a(y_2-y_1)=b(x_2-x_1)\quad \cdots (3)\)

한편, 직선 (1)도 \(\mathrm H(x_2,y_2)\)를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(ax_2+by_2+c=0\)

이 식은 연립방정식을 해를 쉽게 구하기 위해서 다음과 같이 변형합니다.

\(\quad\)\(a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=-(ax_1+by_1+c)\quad \cdots(4)\)

(2),(4)식에서 \(x_2-x_1,y_2-y_1\)에 대해서 연립방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x_2-x_1=\frac{-a(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}\)

\(\quad\)\(\displaystyle y_2-y_1=\frac{-b(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}\)

\(\quad\)\(\begin{align}\therefore \mathrm{PH}
&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\
&=\displaystyle \sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\
&=\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

이차함수 \(y=x^2\) 위의 임의의 점 \(\mathrm P\)에서 직선 \(y=2x-3\)까지 거리의 최솟값을 구하시오.

응용예제2

점 \(B(-3,2)\)에서 점 \(A(1,4)\)를 지나는 직선으로 빛을 쐈을 때, 이 빛은 점 \(A\)에서 반사되어 점 \(C(4,-2)\)에 도달했습니다. 이때, 빛을 반사한 직선의 방정식은 무엇일까요? (단, 직선으로 보낸 빛의 입사각과 반사각은 서로 같습니다.)

응용예제3

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 두 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\), \(\mathrm{PQRS}\)가 있습니다.

꼭짓점 \(\mathrm{A}\)는 직선 \(3x-2y+12=0\) 위를 움직이고, 꼭짓점 \(\mathrm{R}\)은 직선 \(3x-2y-13=0\) 위를 움직일 때, 두 점 \(\mathrm{C}\)와 \(\mathrm{P}\) 사이의 거리의 최솟값은 얼마일까요? (단, \(\overline{\mathrm{AB}}\)와 \(\overline{\mathrm{SR}}\)은 항상 \(y\)-축과 평행하게 움직입니다.)

응용문제4

직선 \(4x-3y+8=0\)이 \(x\)-축과 만나는 점을 \(A\)라 하고, 직선 \(kx-y+2-3k=0\)이 \(x\)-축 및 직선 \(4x-3y+8=0\)과 만나는 점을 각각 \(B, C\)라고 놓습니다. 선분 \(\overline{AB}=\overline{AC}\)일 때, \(k\)의 값과 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하시오. (단, \(k < 0\))

응용예제5

점 \(\mathrm{O}\)와 두 점 \(\mathrm{A}(2,4)\), \(\mathrm{B}(6,0)\)에 대하여 그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{OBA}\)와 넓이가 같은 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)를 만들려고 합니다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)는 \(\mathrm{AC}=\mathrm{BC}\)인 이등변삼각형이라고 할 때, 제1사분면에 있는 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \((a,b)\)입니다. 이때, \(ab\)의 값은? (단, \(\mathrm{O}\)는 원점입니다.)

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\) 위의 점 \(\mathrm{E}\)가 있다. 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에서 선분 \(\mathrm{DE}\)까지의 거리가 2이다. 선분 \(\mathrm{DE}\)의 길이를 구하되 풀이 과정을 서술하시오.

응용예제7

그림과 같이 좌표평면 위에 서로 변을 공유하며 놓여있는 크기가 같은 6개의 정사각형에 대하여 점 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)-좌표가 15일 때, 원점 \(\mathrm{O}\)와 직선 \(\mathrm{EF}\) 사이의 거리는?

응용예제8

두 점 \(\mathrm{A}(-1,10)\), \(\mathrm{B}(2,4)\)와 \(x\)-축 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\left|\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}\right|\)의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 \((\alpha,0)\)이라 하자. 이때 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \((k-1)x+(k-5)y=4k\) 사이의 거리가 최대가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값을 \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2+\beta^2\)의 값을 구하시오.

응용예제9

직선 \(l\)이 \(x\)축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 \(75^{\mathrm o}\)이고, 두 직선 \(x-y-2=0\), \(x-y-4=0\)과 각각 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)에서 만난다. 이때, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이를 구하시오.

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