좌표평면 위의 내분점과 외분점

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/좌표평면_위의_내분점과_외분점

내분점과 외분점의 정의에 따라 1차원인 수직선 위의 내분점과 외분점을 알아보았습니다. 이제 이를 확장해서 2차원인 좌표평면 위의 내분점과 외분점을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다.

아래의 결과를 보면, 내분점(또는 외분점)의 구하는 식은 같은 것을 사용하고, 단지 \(x,y\)좌표 각각에 대해 연산을 수행합니다. 이런 것은 직교좌표계의 장점 중에 하나입니다. 나중에 배우는 3차원 공간에서도 여전히 같은 수식을 사용하는데, 단지 \(z\)좌표를 더할 뿐입니다.

내분점

좌표평면 위의 두 점

\(\quad\)\(\mathrm A(x_1,y_1), \mathrm B(x_2,y_2)\)

을 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\;(m>0,n>0)\)으로 내분하는 점 \(\mathrm P\)의 좌표 \((x,y)\)는 다음과 같이 구해집니다.

점 \(\mathrm{A,B,P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{A',B',P'}\)라고 하면, 음영진 두 삼각형의 닮음으로 인해서,

\(\quad\)\(\begin{align}\mathrm{AP:BP}
&\mathrm{=A'P':B'P'}\\
&=m:n
\end{align}\)

이므로 점 \(\mathrm P'\)은 \(x\)축 위의 선분 \(\mathrm{A'B'}\)을 \(m:n\)으로 내분합니다. 그러므로 수직선 위의 내분점에 따라 \(\mathrm P'\)의 \(x\)좌표는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\)

마찬가지로, \(\mathrm P\)의 \(y\)좌표도 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}\)

따라서 내분점 \(\mathrm P\)의 좌표는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore \mathrm P\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)

외분점

좌표평면 위의 두 점

\(\quad\)\(\mathrm A(x_1,y_1), \mathrm B(x_2,y_2)\)

을 이은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\;(m>0,n>0,m\neq n)\)으로 외분하는 점 \(\mathrm Q\)의 좌표 \((x,y)\)도 오른쪽 그림을 이용하여 내분점의 경우와 마찬가지 방법으로 구하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore \mathrm Q\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)

사각형에의 활용

삼각형의 무게중심도 내분점의 활용에 해당됩니다. 이와 함께 정사각형, 직사각형, 평행사변형, 마름모의 대각선이 서로의 길이를 이등분하는 것도 많이 이용됩니다.

평행사변형

예를 들어, 평생사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 두 대가선 \(\mathrm{AC, BD}\)는 서로를 이등분하므로, 두 대각선의 교점 \(\mathrm P\)는 \(\mathrm{AC}\)의 중점이면서 동시에 \(\mathrm{BD}\)의 중점입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\mathrm P\left(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2}\right)\) 또는

\(\quad\)\(\displaystyle\mathrm P\left(\frac{x_2+x_4}{2},\frac{y_2+y_4}{2}\right)\)

내분점을 이용하는 것이 계산이 간단합니다. 그 외에는 다음 특징들을 이용할 수 있습니다.

\(\quad\)직선\(\mathrm{AB, CD}\)의 기울기가 같습니다.

\(\quad\)직선\(\mathrm{AD, BC}\)의 기울기가 같습니다.

\(\quad\)선분 \(\mathrm{AB, CD}\)의 길이가 같습니다.

\(\quad\)선분 \(\mathrm{AD, BC}\)의 길이가 같습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(3:4\)로 내분하는 점을 \(\mathrm D\), 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(5:2\)로 외분하는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하고, 두 점 \(\mathrm{D}\)와 \(\mathrm{E}\)를 지나는 직선 \(l\)과 선분 \(\mathrm{AC}\)가 만나는 점을 \(\mathrm{F}\)라 놓습니다.

\(\overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{FC}}=m:n\)일 때, \(mn\)의 값은 얼마일까요? (단, \(m, n\)은 서로소인 자연수입니다.)

응용예제2

그림과 같이 세 점 \(\mathrm A(1,1), \mathrm B(5,2), \mathrm C(2,4)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 있습니다. 변 \(\mathrm{BC}\) 위의 두 점 \(\mathrm P(a,b), \mathrm Q(c,d)\)에 대하여 세 삼각형 \(\mathrm{ABP}, \mathrm{APQ}, \mathrm{AQC}\)의 넓이가 모두 같을 때, \(a+b+c+d\)의 값은?

응용예제3

정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 변 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\)의 중점을 각각 \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)라 하고, \(2:1\)로 외분한 점을 각각 \(\mathrm{L}\), \(\mathrm{M}\), \(\mathrm{N}\)이라고 할 때, 삼각형 \(\mathrm{DEF}\)의 넓이와 삼각형 \(\mathrm{LMN}\)의 넓이의 비는 \(1:a\)입니다. 자연수 \(a\)의 값은?

응용예제4

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(2,3)\), \(\mathrm{B}(0,4)\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\;(m>n>0)\)으로 외분하는 점을 \(\mathrm{Q}\)라고 할 때, 삼각형 \(\mathrm{OAQ}\)의 넓이가 16일 때, \(\frac{m}{n}\)의 값은? (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이고, \(m,n\)은 서로소입니다.)

응용예제5

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\), 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2:1\)로 외분하는 점을 \(\mathrm{E}\), 선분 \(\mathrm{AC}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 하자. 다음 중 항상 옳은 것은?

\(\quad\)(ㄱ) 점 \(\mathrm{A}\)는 선분 \(\mathrm{BE}\)의 중점이다.

\(\quad\)(ㄴ) 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)과 삼각형 \(\mathrm{CBM}\)은 닮음이다.

\(\quad\)(ㄷ) 삼각형 \(\mathrm{AED}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)의 넓이는 같다.

\(\quad\)(ㄹ) 삼각형 \(\mathrm{ADC}\)의 넓이는 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)의 넓이의 3배이다.

\(\quad\)(ㅁ) 삼각형 \(\mathrm{ACE}\)의 넓이는 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)의 넓이의 4배이다.

응용예제6

그림에서 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 무게중심의 좌표가 \(\mathrm{G}\)일 때, 점 \(\mathrm{P_1}\), \(\mathrm{P_2}\), \(\mathrm{P_3}\), \(\mathrm{P_4}\)는 각각 선분 \(\overline{\mathrm{GA}}\), \(\overline{\mathrm{GN}}\), \(\overline{\mathrm{GM}}\), \(\overline{\mathrm{GB}}\)를 순서대로 \(m:n\)으로 내분하는 점이고, 점 \(\mathrm{Q_1}\), \(\mathrm{Q_2}\), \(\mathrm{Q_3}\), \(\mathrm{Q_4}\)는 각각 선분 \(\overline{\mathrm{GA}}\), \(\overline{\mathrm{GN}}\), \(\overline{\mathrm{GM}}\), \(\overline{\mathrm{GB}}\)를 순서대로 \(m:n\)으로 외분하는 점이다.

\(\triangle\mathrm{GP_1Q_2}\), \(\triangle\mathrm{MP_2Q_3}\), \(\triangle\mathrm{GP_3Q_4}\), \(\triangle\mathrm{AP_4Q_1}\)의 넓이를 각각 \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), \(S_4\)라 할 때, \(S_1+S_3:S_2+S_4=pm:qn\)이다. \(p-q\)의 값은? (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.)

응용예제7

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 변 \(\mathrm{AB}\)를 \(2:1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{P}\), 변 \(\mathrm{BC}\)를 \(1:2\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{Q}\), 변 \(\mathrm{CA}\)를 \(3:2\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{R}\)이라 하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S\)라 하자. 두 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이의 비를 가장 단순한 자연수로 나타내시오.