직선의 방정식(수학1)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/직선의_방정식(수학1)

일차함수에서 직선의 방정식에 대해 알아보았습니다. 몇 가지 중요한 직선의 방정식은 다음과 같은 것이 있습니다.

• 표준형 : \(y=mx+n\)
• \(x\)축에 평행한 직선 : \(y=a\), 특히 \(y=0\) (\(x\)축)
• \(y\)축에 평행한 직선 : \(x=a\), 특히 \(x=0\) (\(y\)축)

직선의 방정식의 일반형

표준형은 직선의 특징을 잘 나타내는 것을 선택하며, 일반형은 모든 것을 다 나타낼 수 있어야 합니다. 직선의 방정식 표준형에서는 \(x=a\)와 같은 직선을 표현할 수 없습니다. 다음의 식이 직선의 방정식의 일반형입니다.

\(\quad\)\(ax+by+c=0\; (a\neq 0\) 또는 \(b\neq 0)\)

직선의 방정식 만들기

이전 과정에서는 직선의 방정식을 구할 때에는 표준형을 이용했습니다. 표준형은 기울기와 y절편을 이용하는 사고를 했습니다. 반면에 여기서는 주로 기울기와 지나가는 점을 이용합니다.

기울기가 주어지는 경우

기울기 \(m\)이 주어질 때에는 다음과 같이 식을 세웁니다.

\(\quad\)\(y=mx+n\)

지나가는 점이 주어지는 경우

지나는 점 \((x_1,y_1)\)이 주어지는 경우에는 다음과 같이 식을 세웁니다.

\(\quad\)\(y-y_1=m(x-x_1)\)

지나가는 점은 부정방정식(직선)의 해집합의 하나이므로 항상 식을 만족합니다.

이는 표준형 \(y=mx+n\)에 지나가는 점 \((x_1,y_1)\)을 대입해서 \(n\)를 구한 후에 다음과 같이 식을 변형한 것입니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&y_1=mx_1+n\\
&n=y_1-mx_1 \\
&y=mx+y_1-mx_1 \\
&\therefore (y-y_1)=m(x-x_1)
\end{align}\)

이 식은 마치 부정방정식의 한 근을 인수로 바꾼 것과 같은 형태를 띕니다. 

중등 과정과는 차이가 있는 부분입니다. 이 과정이 인수와 근의 개념 사이의 관계를 이해하는 부분이기 때문에, 비록 중등 과정의 방법을 이용해서 문제를 풀 수 있어도, 이 방법으로 이해를 하고 연습하는 것을 추천합니다.

기울기와 지나가는 점이 주어지는 경우

기울기 \(m\)과 지나가는 점 \((x_1,y_1)\)이 주어지는 경우에는 다음과 같이 식을 만듭니다.

\(\quad\)\(y-y_1=m(x-x_1)\)

지나가는 두 점이 주어지는 경우

두 점 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)을 지나가는 직선의 방정식은 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&y-y_1=m(x-x_1)\;\; \mbox{or}\\
&y-y_2=m(x-x_2)
\end{align}\)
여기서 \(\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)

지나가는 점이나 기울기를 구할 때에는 어떤 것을 이용해도 상관없습니다.

직선의 방정식 표준형에 대입해서 연립방정식을 풀어도 가능하지만, 도형에 대한 문제들은 기하하적으로 접근하는 연습이 가장 좋습니다. 이런 연습을 통해서 미분이나 적분에 쉽게 접근할 수 있습니다.

두 절편이 주어지는 경우

주어지는 두 점이 \(x,y\)절편 \((a,0),(0,b)\)일 때는 다음과 같이 식을 세웁니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) (단, \(a, b \neq 0\))

이 식도 다른 형태에서 유도된 것입니다. 기울기와 지나는 점을 이용하면,

\(\quad\)\(y=m(x-a)\cdots(1)\)

\(\quad\)\(y-b=mx\cdots(2)\)

여기서 기울기 \(m\)이 없어져야 하므로,

식 (2)를 변형해서, 식 (1)에 대입하면,

\(\quad\)\(\displaystyle y=\frac{y-b}{x}\cdot (x-a)\)

전개해서 정리하면,

\(\quad\)\(xy=xy-ay-bx+ab\)

\(\quad\)\(ay+bx=ab\)

양쪽 변을 \(ab\)로 나누면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

응용예제

응용예제1

세 점 \(A(-6,3)\), \(B(1,-2)\), \(P(a,b)\)에 대하여 \(\overline{AP}+\overline{BP}\)가 최소일 때, 점 \(Q(3a-2,3b+4)\)에 대하여 선분 \(OQ\)의 길이의 최댓값을 \(\sqrt{M}\)이라 놓습니다. 이때, \(M\)의 값은?

응용예제2

세 점 \(A(1,5)\), \(B(-2,1)\), \(C(7,a)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(CA\)의 이등분선이 변 \(BC\)와 만나는 점이 \(D(1,b)\)일 때, \(ab\)의 값은? (단, \(a<0\))

응용예제3

세 점 \(\mathrm{O}(0,0)\), \(\mathrm{A}(8,0)\), \(\mathrm{B}(5,3)\)을 꼭짓점으로 하는 \(\triangle\mathrm{OAB}\)의 넓이를 직선 \(y=x+k\)가 이등분할 때, 상수 \(k\)의 값을 구하여라.

응용예제4

세 점 \(\mathrm{O}(0,0)\), \(\mathrm{A}(0,4)\), \(\mathrm{B}(2,0)\)을 꼭짓점으로 하는 \(\triangle\mathrm{OAB}\)의 넓이를 점 \(\mathrm{C}(0,1)\)을 지나는 직선이 이등분할 때, 그 직선의 방정식을 구하여라. 

응용예제5

방정식 \(2x^2-3xy+ay^2-3x+y+1=0\)에 대하여, 이 방정식이 두 개의 직선을 나타낼 때, 실수 \(a\)를 구하고, 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하여라.

응용예제6

그림과 같이 좌표평명 위에 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 놓여 있습니다. \(\mathrm{A}(3,1)\), \(\mathrm{B}(4,3)\)이고 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 대각선의 교점을 지나는 직선 \(l\)의 기울기를 \(m\)이라고 할 때, 옳은 것을 전부 고르세요. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점입니다.

\(\quad\)(ㄱ) \(m=1\)이면 직선 \(l\)과 직선 \(\mathrm{CD}\)는 점 \(\mathrm{O}\)에서 만납니다.

\(\quad\)(ㄴ) \(m=2\)이면 직선 \(l\)과 직선 \(\mathrm{CD}\)는 평행합니다.

\(\quad\)(ㄷ) \(1<m<2\)이면 직선 \(l\)과 직선 \(\mathrm{CD}\)가 만나는 점은 제 1사분면에 있습니다.

응용예제7

세 점 \(\mathrm{A}(1,6)\), \(\mathrm{B}(5,2)\), \(\mathrm{C}(8,6)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(x=a\)가 이등분할 때, 상수 \(a\)의 값은?

응용예제8

그림과 같이 좌표평면 위에서 직선 \(y=m(x-1)+1\)이 네 점 \(\mathrm{O}(0,0)\), \(\mathrm{A}(4,0)\), \(\mathrm{B}(4,4)\), \(\mathrm{C}(0,4)\)를 꼭짓점으로 하는 정사각형의 두 변과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P,Q}\)라 하자. 이때 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이가 정수가 되도록 하는 \(m\)의 값의 개수는? (단, \(m\)은 상수)

응용예제9

두 점 \(\mathrm{A}(0,10)\), \(\mathrm{B}(20,0)\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AB}\)를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)가 점 \(\mathrm{A}\)를 출발하여 점 \(\mathrm{B}\) 방향으로 매초 \(\sqrt{5}\)씩 움직이고, \(t\)초 후 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이가 최소가 된다. 상수 \(t\)의 값을 구하면, (단, 점 \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)