원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/함수의_극대와_극소 이차함수는 실수 전체의 구간에 대해 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가집니다. 한편, 다른 함수, 예를 들어, 삼차함수는 전 구간에 걸쳐 최댓값 또는 최솟값이 존재하지는 않습니다. 그러나, 구간을 적절히 잘 정하면, 그 구간 내부에서 최댓값 또는 최솟값을 가질 수 있습니다. 이때, 그 구간 전체에 걸쳐 증가 또는 감소가 아닌 경우, 즉, 증가상태에서 감소상태로 바뀌는 점 또는 반대로, 감소상태에서 증가상태로 바뀌는 점이 존재할 수 있습니다. 그 점이 구간 내부에서 최댓값 또는 최솟값이 될 수도 있지만, 그렇지 않을 수도 있으므로, 극점 이라는 새로운 용어로 불립니다. 함수의 극대·극소 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이고, \(x=a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 \(f(x)\)가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대라 하고, \(f(a)\)를 극댓값이라고 합니다. \(f(x)\)가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소라 하고, \(f(a)\)를 극솟값이라고 합니다. 여기서, 극대와 극소를 전부 극점이라고 합니다 . 게다가, 극점은 미분가능할 필요는 없고, 반드시 그 점에서 연속이어야 합니다. 즉, 꺾어진 점은 미분가능하지 않지만, 연속이므로, 극점이 될 수는 있습니다 . 도함수를 통한 극대·극소 비록 어떤 점이 미분 가능하지 않을지라도, 그 점에서 연속이고 증가상태에서 감소상태로 변하거나, 반대로 감소상태에서 증가상태로 변하는 극점입니다. 한편, 함수의 증가와 감소#도함수를 통한 증가상태와 감소상태 에서, 함수 \(y=f(x)\)가 주어진 구간에서 미분 가능 하고, 도함수가 양수인 증가상태에서 도함수가 음수인 감소상태로 변하거나, 또는 반대로 감소상태에서 증가상태로 변할 때, 즉, \(x=a\)에서 극점이 되려면, \(f'(a)=0\)이어야 합니다 . 반면에, 비록...
원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/다항함수
다항 함수(polynomial function)는 다항식을 평가하는 것(evaluating)에 의해 정의될 수 있는 함수입니다. 보다 정확하게, 주어진 도메인으로부터 한 개의 인수(argument)의 함수 \(f\)는 만약 \(f\)의 도메인에서 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)\)를 평가하는 다음 다항식이 존재하면, 다항 함수입니다:
\(\quad\)\( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \).
여기서, \(n\)은 비-음의 정수이고, \(a_0, a_1,a_2, \cdots, a_n\)은 상수 계수입니다.
일반적으로, 만약 달리 명시하지 않는 한, 다항 함수는 복소수(complex) 계수, 인수, 및 값을 가집니다. 특히, 실수 계수를 가진 것으로 제한된, 다항식은 복소수에서 복소수로의 함수를 정의합니다. 만약 이 함수의 도메인이 역시 실수로 제한(restriction)하면, 결과 함수는 실수에서 실수로 매핑합니다.
예를 들어, 다음과 같이 정의된, 함수 \(f\)는 한 변수의 다항 함수입니다:
\(\quad\)\( f(x) = x^3 - x,\)
여러 변수의 다항 함수는, 둘 이상의 불확정수에서 다항식을 사용하여, 비슷하게 정의되며, 예를 들어, 다음과 같은 것입니다:
\(\quad\)\(f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2-7.\)
다항 함수의 정의에 따르면, 분명히 다항식이 아니지만 그럼에도 불구하고 다항 함수를 정의하는 표현식이 있을 수 있습니다. 예제는 표현식 \(\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2\)이며, 이것은 구간 \([-1,1]\)에서 다항식 \(1-x^2\)와 같은 값을 취하고, 따라서 두 표현은 이 구간에서 같은 다항 함수를 정의합니다.
모든 다항 함수는 연속(continuous), 미분 가능(smooth)이고, 적분 가능(entire)입니다.
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