원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/포물선의_방정식 Main article: Parabola 다항함수에서, 최고 차수가 이차인 \(y=x^2\)와 같은 이차함수 는 간혹 포물선이라고 부르기도 합니다. 포물선은 타원 , 쌍곡선 과 함께, 원뿔 곡선 을 형성하는데, 원은 타원의 특수한 경우로 보기도 하고, 네 번째 원뿔 곡선이라고 분류하기도 합니다. 원뿔 곡선은 초점 ( focus ) 이라고 불리는, 일부 특정 점까지의 거리와 준선 ( directrix : 방향선 )이라고 불리우는 특정 직선에 대한 거리가 이심률 ( eccentricity ) 이라는 불리우는 고정 비율에 있는, 그들 점들의 집합으로 비-원형 곡선으로 정의됩니다. 어쨌든, 원뿔 곡선의 유형은 이심률의 값에 의해 결정됩니다. 대수적 방정식을 얻기 위해, 포물선은 초점과 준선(방향선) 사이의 거리가 같은 점들의 집합 으로 정의하지만, 이심률을 소개하지는 않습니다. 포물선의 방정식 먼저, 이전 과정에서 배웠던 이차함수의 결과가 나오도록, 초점이 \(\mathrm F(0,1)\), 방향선이 \(y=-1\)인 포물선의 방정식을 알아보겠습니다. 포물선 위의 한 점 \(\mathrm P(x,y)\)에서 방향선 \(y=-1\)에 수선의 발을 내리면 만나는 점의 좌표는 \(\mathrm H(x,-1)\)입니다. 포물선의 정의, \(\mathrm{\overline{PF}}=\mathrm{\overline{PH}}\)에 의해, \(\quad\)\(\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y-(-1)|\) 오른쪽 변의 절댓값은 없어도 상관이 없습니다. 왜냐하면, 주어진 초점과 방향선에 대해, 포물선이 그려지려면, 포물선 위의 점의 \(y\)-좌표가 –1보다는 항상 위에 있기 때문입니다. 그럼에도 불구하고 절댓값을 둔 이유는, 초점과 방...
원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/확률의_곱셈정리
조건부확률에서, 조건에 의해, 표본공간의 일부에 대해 사건에 부합되는 확률을 정의했습니다. 조건부확률은 결국 곱사건의 확률을 구하는 방법을 제공합니다.
두 사건 \(A, B\)에 대해,
- 사건 \(A\)가 발생했을 때의 사건 \(B\)의 (조건부)확률은 \(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
- 사건 \(B\)가 발생했을 때의 사건 \(A\)의 (조건부)확률은 \(\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
따라서, 두 사건이 공사건이 아닐 때, 다음과 같이 고쳐쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(P(A \cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\)
이것을 확률의 곱셈정리라고 하는데, 두 사건 \(A, B\)가 동시에 일어나는 사건, 즉 곱사건 \(A \cap B\)의 확률은 조건부확률과 조건에 해당하는 사건의 확률의 곱으로 구할 수 있습니다. 조건부확률에서, 예제의 테이블을 다시 한번 보십시오.
| 분류 | 안경 착용 | 안경 미착용 | 합계 |
| 남학생 | 6 | 9 | 15 |
| 여학생 | 7 | 7 | 14 |
| 합계 | 13 | 16 | 29 |
"학생이 여학생이다"라는 사건 \(A\)와 "안경을 끼고 있다"라는 사건 \(B\)를 동시에 만족하는 사건은
\(\quad\)\(P(A \cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\)
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{7}{29}=\frac{7}{14}\times \frac{14}{29}=\frac{7}{13}\times \frac{13}{29}\)
두 사건 \(A, B\) 중 하나가 공사건일 경우에는 조건부확률에서 보인 것처럼, 곱사건의 확률이 자명한 경우입니다. 대체적으로 그런 사건에서 조건부확률이나 곱사건의 확률에 대한 질문 자체를 하지 않습니다!!
독립사건과 종속사건
만약 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생의 확률에 영향을 미치지 않는다면, 두 사건(event)은 독립(independent), 통계적 독립(statistically independent 또는 stochastically independent)입니다.
예를 들어, 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있는 주머니에서 한 번에 한 개씩 두 개의 공을 꺼내는 실험을 하는데, 두 번째 꺼낸 공이 빨간 공일 확률은?
만약 꺼낸 공을 다시 집어넣는다면, 즉, 주머니의 공의 개수가 변하지 않는다면, 공을 몇 번을 꺼내더라도, 빨간 공이 나올 확률은 \(\frac25\)로 일정합니다.
만약 꺼낸 공을 다시 집어넣지 않는다면, 즉, 주머니의 공이 실험을 계속할수록 점점 줄어든다면, 처음 꺼낸 공이 빨간 공이면, 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 \(\frac14\)입니다. 반면에, 처음 꺼낸 공이 파란 공이면, 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 \(\frac24\)입니다.
이제, 첫 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건 \(A\)와 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건 \(B\)에 대해,
i) 만약 꺼낸 공을 다시 집어넣는다면,
\(\quad\)\(\displaystyle P(B)=P(B|A)=P(B|A^C)=\frac{2}{5}\cdots(1)\)
ii) 만약 꺼낸 공을 다시 집어넣지 않는다면,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{4}=P(B|A) \neq P(B|A^C)=\frac{2}{4}\cdots(2)\)
식 (1)처럼, 사건 \(A\)의 발생 여부와 상관없이 사건 \(B\)의 발생 확률이 같으면, 두 사건 \(A, B\)는 독립적이라고 말합니다.
반면에, 식 (2)처럼, 사건 \(A\)의 발생 여부가 사건 \(B\)의 발생 확률에 영향을 미치면, 두 사건 \(A, B\)는 독립적이 아니다 또는 종속적이라고 말합니다.
다른 예제로, 한 개의 공정한 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째 1의 눈이 나오는 사건 \(A\), 두 번째 1의 눈이 나오는 사건 \(B\)에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle P(B|A)=P(B|A^C)=P(B)=\frac{1}{6}\)
따라서, 두 사건은 서로 영향을 미치지 않으므로, 독립적입니다.
독립사건의 곱셈정리
두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립적이면 \(P(B|A)=P(B)\)이므로,
\(\quad\)\(\begin{align}
P(A\cap B) & = P(B|A)P(A) \\
& = P(B)P(A) \cdots(3) \\
\end{align}\)
또한, 식 (3)을 만족하면, 두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립적입니다.
응용예제
응용예제1
해설: 집합의 분할에서, 대진표를 살펴보면, 4명을 2팀으로 나누는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle {_4}C_2 \times {_4}C_2 \times \frac{1}{2!} = 3\)
그리고, A, B가 다른 팀에 속하려면, (A,C), (A,D)가 한 팀이고 다른 2팀이 나머지 한 팀을 이루어야 하므로, 2가지 경우가 있습니다.
한편, A, B 두 팀이 결승에서 만나려면, A, B 두 팀이 나머지 C, D팀을 이겨야 하므로, 이때, C, D팀을 이길 확률이 다르면, 두 경우에 대해 각각 확률을 구해서 더해야 합니다.
\(\quad\)(A, C), (B, D) : 두 팀이 모두 이기는 확률이므로, 이길 확률을 곱합니다.
\(\quad\)(A, D), (B, C) : 두 팀이 모두 이기는 확률이므로, 이길 확률을 곱합니다.
게다가, 각 경우에 대해, 확률을 구하는 것이므로, 각각이 매칭이 되는 경우의 확률도 별도로 적어야 합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}\)
이 문제에서, 이길 확률이 같기 때문에, 별도로 계산할 필요 없이 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}\)
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