확률의 곱셈정리

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/확률의_곱셈정리

조건부확률에서, 조건에 의해, 표본공간의 일부에 대해 사건에 부합되는 확률을 정의했습니다. 조건부확률은 결국 곱사건의 확률을 구하는 방법을 제공합니다.

두 사건 \(A, B\)에 대해,

• 사건 \(A\)가 발생했을 때의 사건 \(B\)의 (조건부)확률은 \(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
• 사건 \(B\)가 발생했을 때의 사건 \(A\)의 (조건부)확률은 \(\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

따라서, 두 사건이 공사건이 아닐 때, 다음과 같이 고쳐쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(P(A \cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\)

이것을 확률의 곱셈정리라고 하는데, 두 사건 \(A, B\)가 동시에 일어나는 사건, 즉 곱사건 \(A \cap B\)의 확률은 조건부확률과 조건에 해당하는 사건의 확률의 곱으로 구할 수 있습니다. 조건부확률에서, 예제의 테이블을 다시 한번 보십시오.

분류	안경 착용	안경 미착용	합계
남학생	6	9	15
여학생	7	7	14
합계	13	16	29

"학생이 여학생이다"라는 사건 \(A\)와 "안경을 끼고 있다"라는 사건 \(B\)를 동시에 만족하는 사건은

\(\quad\)\(P(A \cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{7}{29}=\frac{7}{14}\times \frac{14}{29}=\frac{7}{13}\times \frac{13}{29}\)
두 사건 \(A, B\) 중 하나가 공사건일 경우에는 조건부확률에서 보인 것처럼, 곱사건의 확률이 자명한 경우입니다. 대체적으로 그런 사건에서 조건부확률이나 곱사건의 확률에 대한 질문 자체를 하지 않습니다!!

독립사건과 종속사건

만약 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생의 확률에 영향을 미치지 않는다면, 두 사건(event)은 독립(independent), 통계적 독립(statistically independent 또는 stochastically independent)입니다.

예를 들어, 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있는 주머니에서 한 번에 한 개씩 두 개의 공을 꺼내는 실험을 하는데, 두 번째 꺼낸 공이 빨간 공일 확률은? 

만약 꺼낸 공을 다시 집어넣는다면, 즉, 주머니의 공의 개수가 변하지 않는다면, 공을 몇 번을 꺼내더라도, 빨간 공이 나올 확률은 \(\frac25\)로 일정합니다.

만약 꺼낸 공을 다시 집어넣지 않는다면, 즉, 주머니의 공이 실험을 계속할수록 점점 줄어든다면, 처음 꺼낸 공이 빨간 공이면, 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 \(\frac14\)입니다. 반면에, 처음 꺼낸 공이 파란 공이면, 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 \(\frac24\)입니다.

이제, 첫 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건 \(A\)와 두 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건 \(B\)에 대해,

i) 만약 꺼낸 공을 다시 집어넣는다면,

\(\quad\)\(\displaystyle P(B)=P(B|A)=P(B|A^C)=\frac{2}{5}\cdots(1)\)

ii) 만약 꺼낸 공을 다시 집어넣지 않는다면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{4}=P(B|A) \neq P(B|A^C)=\frac{2}{4}\cdots(2)\)

식 (1)처럼, 사건 \(A\)의 발생 여부와 상관없이 사건 \(B\)의 발생 확률이 같으면, 두 사건 \(A, B\)는 독립적이라고 말합니다.

반면에, 식 (2)처럼, 사건 \(A\)의 발생 여부가 사건 \(B\)의 발생 확률에 영향을 미치면, 두 사건 \(A, B\)는 독립적이 아니다 또는 종속적이라고 말합니다.

다른 예제로, 한 개의 공정한 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째 1의 눈이 나오는 사건 \(A\), 두 번째 1의 눈이 나오는 사건 \(B\)에 대해,

\(\quad\)\(\displaystyle P(B|A)=P(B|A^C)=P(B)=\frac{1}{6}\)

따라서, 두 사건은 서로 영향을 미치지 않으므로, 독립적입니다.

독립사건의 곱셈정리

두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립적이면 \(P(B|A)=P(B)\)이므로,

\(\quad\)\(\begin{align}
P(A\cap B) & = P(B|A)P(A) \\
& = P(B)P(A) \cdots(3) \\
\end{align}\)

또한, 식 (3)을 만족하면, 두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립적입니다.

응용예제

응용예제1

A, B, C, D 4명이 그림과 같은 대진표를 이용하여 시합을 하려고 한다. A가 C, D와 시합을 할 때 이길 확률이 각각 \(\frac23\)이고, B는 C, D와 시합을 할 때 이길 확률이 각각 \(\frac12\)이라고 한다. 이때 A와 B가 결승전에서 만날 확률을 구하시오.
해설: 집합의 분할에서, 대진표를 살펴보면, 4명을 2팀으로 나누는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {_4}C_2 \times {_4}C_2 \times \frac{1}{2!} = 3\)

그리고, A, B가 다른 팀에 속하려면, (A,C), (A,D)가 한 팀이고 다른 2팀이 나머지 한 팀을 이루어야 하므로, 2가지 경우가 있습니다.

한편, A, B 두 팀이 결승에서 만나려면, A, B 두 팀이 나머지 C, D팀을 이겨야 하므로, 이때, C, D팀을 이길 확률이 다르면, 두 경우에 대해 각각 확률을 구해서 더해야 합니다.

\(\quad\)(A, C), (B, D) : 두 팀이 모두 이기는 확률이므로, 이길 확률을 곱합니다.

\(\quad\)(A, D), (B, C) : 두 팀이 모두 이기는 확률이므로, 이길 확률을 곱합니다.

게다가, 각 경우에 대해, 확률을 구하는 것이므로, 각각이 매칭이 되는 경우의 확률도 별도로 적어야 합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}\)

이 문제에서, 이길 확률이 같기 때문에, 별도로 계산할 필요 없이 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}\)