포물선의 방정식

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Main article: Parabola

다항함수에서, 최고 차수가 이차인 \(y=x^2\)와 같은 이차함수는 간혹 포물선이라고 부르기도 합니다. 

포물선은 타원, 쌍곡선과 함께, 원뿔 곡선을 형성하는데, 원은 타원의 특수한 경우로 보기도 하고, 네 번째 원뿔 곡선이라고 분류하기도 합니다.

원뿔 곡선은 초점(focus)이라고 불리는, 일부 특정 점까지의 거리와 준선(directrix:방향선)이라고 불리우는 특정 직선에 대한 거리가 이심률(eccentricity)이라는 불리우는 고정 비율에 있는, 그들 점들의 집합으로 비-원형 곡선으로 정의됩니다. 어쨌든, 원뿔 곡선의 유형은 이심률의 값에 의해 결정됩니다.

대수적 방정식을 얻기 위해, 포물선은 초점과 준선(방향선) 사이의 거리가 같은 점들의 집합으로 정의하지만, 이심률을 소개하지는 않습니다.

포물선의 방정식

먼저, 이전 과정에서 배웠던 이차함수의 결과가 나오도록, 초점이 \(\mathrm F(0,1)\), 방향선이 \(y=-1\)인 포물선의 방정식을 알아보겠습니다.

포물선 위의 한 점 \(\mathrm P(x,y)\)에서 방향선 \(y=-1\)에 수선의 발을 내리면 만나는 점의 좌표는 \(\mathrm H(x,-1)\)입니다. 

포물선의 정의, \(\mathrm{\overline{PF}}=\mathrm{\overline{PH}}\)에 의해,

\(\quad\)\(\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y-(-1)|\)

오른쪽 변의 절댓값은 없어도 상관이 없습니다. 왜냐하면, 주어진 초점과 방향선에 대해, 포물선이 그려지려면, 포물선 위의 점의 \(y\)-좌표가 –1보다는 항상 위에 있기 때문입니다. 그럼에도 불구하고 절댓값을 둔 이유는, 초점과 방향선이 문자로 대체되었을 때의 일반적인 식을 유도했을 때, 실수를 방지하기 위함입니다.

양쪽 변을 제곱해서 정리하면,

\(\quad\)\(x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1\)

\(\quad\)\(x^2=4y\)

따라서, 초점이 \(\mathrm F(0,1)\), 방향선이 \(y=-1\)인 포물선의 방정식은 \(x^2=4y\)이고, 꼭짓점은 원점, 대칭축은 \(y\)-축입니다.

이차함수와 다른 형태로 식을 쓰는 이유는 포물선의 정의에 대한 초점과 방향선의 식을 쉽게 구할 수 있는 형태를 유지하기 위함입니다.

이것으로부터, 일반적인 형태의 포물선의 방정식을 유도할 수 있습니다.

점 \(\mathrm F(0,p)\;(p \neq 0)\)를 초점으로 하고, 직선 \(y=-p\)를 방향선으로 하는 포물선의 방정식을 구하기 위해, 포물선 위의 임의의 점 \(\mathrm P(x, y)\)에서 방향선에 수선의 발을 내리면, 그 좌표는 \(\mathrm H(x,-p)\)입니다.

포물선의 정의, \(\mathrm{\overline{PF}}=\mathrm{\overline{PH}}\)에 의해,

\(\quad\)\(\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y-(-p)|\)

양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(x^2=4py\;(p \neq 0)\)

따라서, 초점이 \(\mathrm F(0,p)\), 방향선이 \(y=-p\)인 포물선의 방정식은 \(x^2=4py\;(p \neq 0)\)이고, 꼭짓점은 원점, 대칭축은 \(y\)-축입니다.

이 모양은 포물선의 특징을 잘 나타내므로, 포물선의 표준형이라고 합니다. 반면에 일반형은 \(f(x,y)=0\)의 형태의 방정식으로써, 포물선의 평행이동에서 다룹니다.

한편, 이 식과 이차함수를 비교하면, 어쨌든, \(p\)의 부호에 의해 이차항, 즉 선행 계수를 결정되므로,

• \(p>0\)이면, \(x\)-축 위쪽에 그림이 그려지는 아래로 볼록인 모양입니다.
• \(p<0\)이면, \(x\)-축 아래에 그림이 그려지는 위로 볼록인 모양입니다.

\(x\)-축과 평행한 대칭축

포물선은 임의의 정점과 정점을 지나지 않는 직선과 같은 거리에 있는 점들의 집합입니다. 이때, 임의의 직선이 가능하지만, 식을 조금 간단히 하기 위해, 

• 첫 번째, 위에서 처럼, \(y\)-축과 평행한 대칭축을 갖는 경우, 즉, 방향선이 \(x\)-축과 평행한 경우와
• 두 번째, \(x\)-축과 평행한 대칭축을 갖는 경우, 즉, 방향선이 \(y\)-축과 평행한 경우를 오직 다룹니다.

이제, 대칭축이 \(x\)-축이 되는 포물선을 그리기 위해, 초점이 \(\mathrm F(1,0)\), 방향선이 \(x=-1\)인 포물선의 방정식을 알아보겠습니다.

포물선 위의 한 점 \(\mathrm P(x,y)\)에서 방향선 \(x=-1\)에 수선의 발을 내리면 만나는 점의 좌표는 \(\mathrm H(-1,y)\)입니다.

포물선의 정의, \(\mathrm{\overline{PF}}=\mathrm{\overline{PH}}\)에 의해,

\(\quad\)\(\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x+1\)

양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(y^2=4x\)

따라서, 초점이 \(\mathrm F(1,0)\), 방향선이 \(x=-1\)인 포물선의 방정식은 \(y^2=4x\)이고, 꼭짓점은 원점, 대칭축은 \(x\)-축입니다.

이것으로부터, 일반적인 형태의 포물선의 방정식을 유도할 수 있습니다.

점 \(\mathrm F(p,0)\;(p \neq 0)\)를 초점으로 하고, 직선 \(x=-p\)를 방향선으로 하는 포물선의 방정식을 구하기 위해, 포물선 위의 임의의 점 \(\mathrm P(x,y)\)에서 방향선에 수선의 발을 내리면, 그 좌표는 \(\mathrm H(-p,y)\)입니다.

포물선의 정의, \(\mathrm{\overline{PF}}=\mathrm{\overline{PH}}\)에 의해,

\(\quad\)\(\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x-(-p)|\)

양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(y^2=4px\;(p \neq 0)\)

따라서, 초점이 \(\mathrm F(p,0)\), 방향선이 \(x=-p\)인 포물선의 방정식은 \(y^2=4px\;(p \neq 0)\)이고, 꼭짓점은 원점, 대칭축은 \(x\)-축입니다.

어쨌든, \(p\)의 부호에 의해 포물선의 개형이 결정되므로,

• \(p>0\)이면, \(y\)-축 오른쪽에 그림이 그려지는 왼쪽으로 볼록인 모양입니다.
• \(p<0\)이면, \(y\)-축 왼쪽에 그림이 그려지는 오른쪽으로 볼록인 모양입니다.