절대부등식

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Main article: List of inequalities

일차부등식, 이차부등식 등은 조건에 만족하는 것만 해를 갖는 조건 부등식입니다. 절대부등식은 미지수에 임의의 실수값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 말합니다.

여기서는 자주 사용하는 절대부등식을 알아보고, 증명하는 것을 다루어 보고자 합니다.

절대부등식에 이용되는 증명은 실수의 대소 관계에서 소개한 부등식의 성질, 즉, \(a-b\geq 0\)를 방법을 자주 이용합니다.

그러나, 제곱근이나 절댓값은 단순히 빼는 것으로는 절대부등식을 증명하기 힘들기 때문에 제곱근이나 절댓값 기호를 최소 개수로 줄이기 위해 제곱을 해서 빼는 방법을 이용합니다.

한편, 산술평균, 조화평균, 기하평균 등은 기하학적 방법을 이용하기도 합니다.

기본적인 절대부등식

실수 \(x, y, z\)에 대하여 다음이 항상 성립합니다.

• \(x^2+2xy+y^2 \ge 0\) (등호조건 \(x + y = 0\))\(\quad\cdots\)(1)
• \(x^2-2xy+y^2 \ge 0\) (등호조건 \(x - y = 0\))\(\quad\cdots\)(2)
• \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 0\) (등호조건 \(x = y = z = 0\))\(\quad\cdots\)(3)
• \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \ge 0\) (등호조건 \(x = y = z\))\(\quad\cdots\)(4)
• \(|x|+|y|\geq |x+y|\) (등호조건 \(x \cdot y \ge 0\))\(\quad\cdots\)(5)
• \(|x|-|y|\leq |x-y|\) (등호조건 \(x \cdot y \ge 0\))\(\quad\cdots\)(6)

절대부등식은 등호가 있을 때에는 등호를 만족하는 등호 조건을 적어주어야 합니다.

증명) (1),(2)의 절대부등식은 완전제곱식이므로 \((실수)^2 \ge 0\)으로 증명됩니다. 등호는 완전제곱식 안이 0을 만족할 때 성립합니다.

(3), (4)의 절대부등식은 곱셈 공식의 변형에서 소개한 내용을 그대로 이용할 수 있습니다. 완전제곱식의 합인 꼴이므로, 등호조건은 완전제곱식이 모두 0이 되는 경우입니다. 

(5), (6)의 절대부등식은 절댓값을 포함하고 있기 때문에, 제곱을 해서 빼줍니다.

\(\quad\)\(\left(|x|+|y|\right)^2-\left(|x+y|\right)^2\)
\(\quad\)\(=|x|^2+2|x||y|+|y|^2-(x^2+2xy+y^2)\)
\(\quad\)\(=2|xy|-2xy\)
\(\quad\)\(=\left\{\begin{align}
&0 & xy\geq 0 \\
&-4xy>0 & xy < 0 
\end{align}\right.\)

\(\quad\)\(\left(|x|-|y|\right)^2-\left(|x-y|\right)^2\)
\(\quad\)\(=|x|^2-2|x||y|+|y|^2-(x^2-2xy+y^2)\)
\(\quad\)\(=-2|xy|+2xy\)
\(\quad\)\(=\left\{\begin{align}
&0 & xy\geq 0 \\
&4xy<0 & xy < 0 
\end{align}\right.\)

산술평균 기하평균

산술평균은 평균값, 기하평균은 평균배율, 조화평균은 평균속력을 구하는데 이용됩니다.

임의의 두 양수 \(x,y\)에 대해서 다음의 부등식을 항상 만족합니다. 두 숫자중 하나에 영이 있을 때에도 만족합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \geq \frac{2xy}{x+y}\) (등호조건 \(x=y\))

증명) \(\displaystyle A=\frac{x+y}{2},B=\sqrt{xy}\)라 하면,

\(\quad\)\(\begin{align}A-B
&=\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy} \\
&=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{xy}+\left(\sqrt{y}\right)^2}{2}\\
&=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \geq 0
\end{align}\)

\(\displaystyle B=\sqrt{xy},C=\frac{2xy}{x+y}\)라 하면,

\(\quad\)\(\begin{align}B-C
&=\sqrt{xy}-\frac{2xy}{x+y} \\
&=\frac{\sqrt{xy}(x+y)-2xy}{x+y}\\
&=\frac{\sqrt{xy}(x+y-2\sqrt{xy}}{x+y}\\
&=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{x+y} \geq 0
\end{align}\)
그러므로 \(A\geq B\geq C\)를 만족합니다.

기하학적 증명

오른쪽 그림처럼, \(\mathrm Q\)가 아닌 원주 위의 점 \(\mathrm P\)에서 지름 \(\mathrm{AB}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm H\)가 지름을 \(x,y\)로 나누었을 때에, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{x+y}{2}\)

\(\quad\)\(\begin{align}\mathrm{OH}
&=\mathrm{OP}-y \\
&=\frac{x-y}{2}
\end{align}\)

또한, 직각삼각형 \(\mathrm{OPH}\)는 다음의 피타고라스 정리를 만족합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{OP^2=PH^2+OH^2}\)

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{PH}^2=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2-\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\)

\(\quad\)\(\therefore \mathrm{PH}=\sqrt{xy}\)

따라서, \(\mathrm{OP > OH}\)입니다. 또한, \(\mathrm{P}\)가 \(\mathrm{Q}\)일 때에는 \(\mathrm{OP = OH}\)입니다.

그러므로 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\) (등호조건 \(x=y\))

산술평균과 기하평균의 절대 부등식보다는, 양변을 2를 곱한 수식이 훨씬 더 사용하기 좋습니다.

\(\quad\)\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\) 

비례식 이용

직각삼각형 내부에서 수선의 발을 내리면 세 개의 직각삼각형이 생깁니다. 이 세 삼각형 닮음 삼각형입니다. 따라서 다음 비례식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AH:PH=PH:BH}\)

\(\quad\)\(\mathrm{PH^2=AH\cdot BH}\)

\(\quad\)\(\mathrm{PH=\sqrt{xy}}\)

고등학교 수학에서 산술평균과 기하평균의 절대부등식이 중요한 이유는 최댓값(최솟값) 문제에 자주 이용되기 때문입니다. 최댓값(최솟값) 문제는 다음과 같은 우선순위로 정리해 두는 것이 좋겠습니다.

1. 치환 등을 통해서 이차함수 꼴을 만들 수 있는가?를 생각합니다.
2. 두 수가 양수 (또는 음수, 또는 같은 부호)이면 산술평균/기하평균을 이용합니다.
3. 미분을 이용합니다.

산술-기하 평균의 기하학적 의미

임의의 두 양수 \(x,y\)에 대해서, \(x+y=10\)이면 \(xy\)의 최댓값은?

위와 같은 질문에서, 산술-기하 평균을 사용하는 것은 알고 있을 것입니다. 이것의 기하학적 의미는 다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다.

• 양수 \(x,y\)에 대해서 => 제 1사분면에서
• \(x+y=10\)이면 => 직선 위의 점에 대해,
• \(xy\)의 최댓값은 => \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\)이 위의 직선과 교점이 발생하는 \(k\)의 최댓값은? 

직각쌍곡선에서 제 1사분면의 그림은 \(k\)의 값이 커짐에 따라, 원점에서 점점 멀이지는 그래프이기 때문에, \(k\)의 값이 충분히 작을 때, 직선과 두 점에서 만납니다. 여기서, \(k\)의 값을 높이면, 두 교점 사이의 거리가 점점 줄어들어서, 어는 순간 직선과 곡선이 한 점, 즉 접하고, 더 큰 값에 대해 교점이 발생하지 않습니다.

따라서, 직선과 곡선의 접할 때, 최댓값을 가지므로, 다음 두 방정식의 연립방정식을 풉니다.

\(\quad\)\(x+y=10, xy=k\)

이때, 연립방정식이 이차방정식이 되므로, 그의 판별식이 영이 되는 점 중에서 기하학적으로 접하는 순간의 \(k\)의 값이 구하려는 값입니다.

사실, 이 과정이 어렵지는 않지만, 직선의 방정식이 바뀔 때마다, \(xy\)의 최댓값 또는 최솟값을 별도로 계산하는 것이 귀찮을 뿐입니다.

즉, 다음과 같은 문제들이 있습니다.

• 임의의 두 양수 \(x,y\)에 대해서, \(2x+3y=10\)이면 \(xy\)의 최댓값은?
• 임의의 두 양수 \(x,y\)에 대해서, \(\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=10\)이면 \(xy\)의 최솟값은? 이 문제는 곱이 분모에 오기 때문에, 최솟값을 구하는 문제로 바뀝니다.

이런 문제들은, 기하학적으로 의미를 파악하고, 대수적으로 대입, 전개, 정리, 판별식, 인수분해 등의 과정으로 답을 구할 수 있지만, 산술-기하 평균의 개념에서, 등호조건에 해당하므로, 아주 간략한 계산으로 답을 구할 수 있으며, 이때, 등호조건은 모두 바뀌는 것을 확인할 수 있습니다.

그러나, 위의 두 경우와 같이, 문제가 바뀌더라도, 

• \(2x=a,\;3y=b\)와 같이 치환하면, 기하학적으로 \(a=b\)인 상황은 바뀌지 않습니다.
• \(\displaystyle \frac{2}{x}=c,\;\frac{3}{y}=d\)와 같이 치환하면, 기하학적으로 \(c=d\)인 상황은 바뀌지 않습니다.

즉, 그래프로 해석할 때에 별도의 그래프를 그릴 필요없이 위의 그래프로 해석이 가능하며, 단지 직각쌍곡선에서 \(k\)를 구한 후에, 최댓값 또는 최솟값을 구할 때, 곱하는 배수가 달라질 뿐입니다.

한편, #응용예제15처럼, 등호조건이 같지 않을 때에는, 변형된 식을 이용하거나, 기하학적으로 접근할 수 있습니다.

여기서, ''등호조건이 같지 않다''는 의미는 최댓값 또는 최솟값을 나타내는 등호조건이 되는 점, 즉 좌표가 서로 다르기 때문에, 한쪽의 산술-기하 평균의 등호조건, 그 수식에서 최댓값 또는 최솟값이 되는 점 (좌표)이 다른 식의 최솟값, 또는 최댓값이 되는 점 (좌표)과 같지 않다는 의미입니다. 즉, 그런 용도로 해당 수식을 대입, 비교 등의 산술 조작에 이용해서는 안됩니다.

한 변수에 대한 생각

이런 문제를 생각해 보십시오.

\(\quad\)\(x>1\)일 때, \(\displaystyle x+\frac{4}{x-1}\)의 최솟값은?

해설) 산술평균-기하평균을 사용하기 위해 다음과 같이 식을 변경할 것입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle (x-1)+\frac{4}{x-1}+1 \ge 2\sqrt{4} + 1\)

이때, 등호조건에 의해, \(x-1=2\)일 때, 최솟값 5를 가집니다.

잘못된 풀이) 아마도, 두 항은 그 자체로 양수이기 때문에, 다음과 같이 쓸 수 있을 것으로 생각하는 분들도 있을 것입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x+\frac{4}{x-1} \ge 2 \sqrt{\frac{4x}{x-1}}\cdots(1)\)

이렇게 산술평균-기하평균을 적용하면, 등호조건에 의해,

\(\quad\)\(\displaystyle x=\frac{4}{x-1}\cdots(2)\)

에서 최솟값이 발생할 것으로 생각할 수 있습니다.

그러나, 이것은 잘못된 생각입니다.

양수 \(x\)에 대해, \(\displaystyle x+\frac{1}{x}=k\)로 두고, 양쪽 변에 \(x\)를 곱하면,

\(\quad\)\(x^2+1=kx\)

이것은 다음 연립방정식

\(\quad\)\(y=x^2+1,\;y=kx\)

이 교점을 가질 때, 반대로 연립방정식의 실근을 가질 때, 직선의 기울기가 제일 작은 것이 언제인지를 물어보는 것입니다.

따라서, 이차함수와 직선이 접할 때, 즉, 연립방정식이 이차방정식이므로, 그의 판별식이 영일 때, 직선의 기울기가 최소가 되는 순간입니다.

\(\quad\)\(D=k^2-4 = 0\)

물론, 양수를 다루므로, \(k=2\)가 최솟값입니다.

대수적으로, \(k\)는 일차항의 계수이므로, 완전제곱식이 되기 위해서, 이차항의 계수의 양의 제곱근과 상수항의 양의 제곱근과 2의 곱으로 구성되는데, 식 (1)처럼 부등식을 만들면, 오른쪽의 제곱근에 \(x\)가 남게 되어, 완전제곱식을 구성할 수 없습니다.

또는 구성가능할지라도, 식 (2)는 등호조건에 해당되지 않으므로, 최솟값을 갖는 \(x\)의 값이 아닙니다.

대수적으로, 아래와 같이 완전제곱식이 구성될 때, 최솟값을 가짐을 알 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle px+\frac{q}{x} = \left(\sqrt{p}\sqrt{x}-\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{x}} \right) \ge 0\)

전체가 비-음수이므로, 그 값이 0이 될 때, 최솟값을 가집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \sqrt{p}\sqrt{x}-\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{x}} = 0\)

\(\quad\)\(\displaystyle \therefore px = \frac{q}{x}\)

한편, \(x>1\)일 때, \(\displaystyle x+\frac{4}{x-1}\)의 최솟값은

\(\quad\)\(\displaystyle x+\frac{4}{x-1}=k\)

로 두고, 양쪽 변에 \(x-1\)을 곱하면,

\(\quad\)\(x(x-1)+4=k(x-1)\)

이므로,

\(\quad\)\(y=x(x-1)+4,\;y=k(x-1)\)

의 교점이 발생할 때, 기울기의 최솟값을 물어보는 것으로 생각할 수 있습니다.

따라서, 연립방정식이 이차방정식이므로, 그의 판별식이 영인 점 중에서, 기하학적으로 기울기가 양수인 것이 정답입니다.

\(\quad\)\(x^2-(k+1)x+4+k=0\)

\(\quad\)\(D=(k+1)^2-4(4+k)=0\)

이것을 판별식을 이용하지 않고, 완전제곱식이 되는 산술-기하평균을 이용하기 위해서,

\(\quad\)\(\displaystyle (x-1)+\frac{4}{x-1}+1\)

으로 바꾸면, 위와 같이, \(x-1=t\)로 바꾸어서 생각하거나, 또는 그래프의 평행이동으로 생각해서, 산술-기하평균으로 접근할 수 있습니다.

코시-슈바르츠의 부등식

실수 \(a,b,x,y\)에 대하여 다음 부등식이 항상 성리합니다.

\(\quad\)\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2\) (등호조건 \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\))

증명) \(A=(a^2+b^2)(x^2+y^2),B=(ax+by)^2\)로 두면,

\(\quad\)\(\begin{align}A-B
&=(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2 \\
&=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2) \\
&=(ay-bx)^2 \geq 0
\end{align}\)

그러므로 \(A\geq B\)를 만족합니다. 단, 등호는 \(ay=bx\)일 때 성립합니다.

항상 성립하는 이차부등식

이차부등식에서 항상 성립하는 경우가 있었습니다. 판별식 \(D=b^2-4ac\)라고 했을 때, 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 

• \(ax^2+bx+c>0\)이 항상 성립 \(\Rightarrow\;a>0, D<0\)
• \(ax^2+bx+c\geq0\)이 항상 성립 \(\Rightarrow\;a>0, D\leq0\)
• \(ax^2+bx+c<0\)이 항상 성립 \(\Rightarrow\;a<0, D<0\)
• \(ax^2+bx+c\leq0\)이 항상 성립 \(\Rightarrow\;a>0, D\leq0\)

이차부등식 대신에 부등식이라고 했을 때에는 위의 조건에 추가적으로 다른 조건에서도 성립합니다. 예를 들어 다음과 같은 경우가 있습니다.

• \(ax^2+bx+c>0\)이 항상 성립 \(\Rightarrow\;a=0, b=0, c>0\)

응용예제

응용예제1

두 양수 \(x,y\)가 \(xy+x+y=24\)를 만족시킬 때, \(xy\)의 최댓값은?

응용예제2

임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2-a|x|+b \ge 0\)이 성립하기 위한 필요충분조건을 실수 \(a\)에 대하여 나타낸 것은? (4)

\(\quad\)(가) \(b \ge \frac{1}{4}a^2\)

\(\quad\)(나) \(b \ge \frac{1}{4}\left(|a|+a\right)^2\)

\(\quad\)(다) \(b \ge \frac{1}{4}\left(|a|-a\right)^2\)

\(\quad\)(라) \(b \ge \frac{1}{16}\left(|a|+a\right)^2\)

\(\quad\)(마) \(b \ge \frac{1}{16}\left(|a|-a\right)^2\)

응용예제3

두 실수 \(x,y\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=5\)일 때, \(3x+2y\)의 최댓값을 구하여라.

응용예제4

\(x>1\)일 때, \(\displaystyle \frac{x^2-1}{x^4-2x^2+5}\)의 최댓값을 구하고, 그 때의 \(x\)의 값을 구하시오.

응용예제5

한 변의 길이가 2인 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 있습니다. \(\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AQ}}\)가 되는 두 점 \(\mathrm{P, Q}\)를 각각 선분 \(\overline{\mathrm{AD}}\)와 \(\overline{\mathrm{AB}}\) 위에 둡니다. 점 \(\mathrm P\)를 지나고 \(\overline{\mathrm{AB}}\)에 평행한 직선과 선분 \(\overline{\mathrm{BC}}\)가 만나는 점을 \(\mathrm R\), 점 \(\mathrm Q\)를 지나고 \(\overline{\mathrm{AD}}\)에 평행한 직선과 선분 \(\overline{\mathrm{CD}}\)가 만나는 점을 \(\mathrm T\)라 놓습니다. 삼각형 \(\mathrm{AQP}\)의 내접원 \(C_1\)과 삼각형 \(\mathrm{TRC}\)의 내접원 \(C_2\)의 넓이의 합을 \(S\pi\), 둘레의 길이의 합을 \(L\pi\)라 할 때, \(L-S\)의 최댓값은?

응용예제6

다음 그림과 같은 직사각형 \(ABCD\) 안에 외접하는 두 원 \(O,\;O'\)이 있습니다. 원 \(O\)는 두 변 \(AB,\;BC\)에, 원 \(O'\)은 두 변 \(CD,\;DA\)에 접할 때, 두 원의 넓이의 합의 최댓값과 최솟값의 차이는?

응용예제7

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형에 원이 내접합니다. 원 위의 한 점을 지나도록 정사각형의 한 귀퉁이를 삼각형 모양으로 잘랐을 때, 이 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

응용문제8

\(a^4+9b^4+9c^4-12abc=-1\)을 만족시키는 세 실수 \(a,b,c\)의 순서쌍 \((a,b,c)\)의 개수를 적으시오.

응용예제9

\(x>0,y>0\)이고, \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1\)일 때, \(x+y\)의 최솟값을 구하여라.

응용예제10

\(a>1, b>1\)이고 \(ab-a-b=24\)일 때, \(a+b\)의 최솟값을 구하여라.

응용예제11

\(x>0,y>0,z>0\)이고, \(x+y+z=2\)일 때, \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\)의 최솟값을 구하여라.

응용예제12

산술평균-기하평균을 이용하는 문제 중에서 출제하지 않는 것이 좋을 것으로 보이는 문제들입니다. 실력의 차이를 이런 것에서 구별하는 것이 바람직한 것인지는 의문입니다. 오히려 개념 사이의 연관이나, 개념의 깊이를 묻는 것이 더 바람직해 보입니다.

응용예제13

원 \((x+1)^2+(y-2)^2=1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(a,b)\)에 대하여 \(ab-2a+b\)의 최댓값은? (단, \(a, b\)는 실수이다.)

응용예제14

부등식 \(x^2+y^2 \le 2\)를 만족시키는 모든 실수 \(x,y\)에 대하여 \(a=x+y\), \(b=xy\)라 할 때, \(a\)의 최댓값을 \(M\), \(b\)의 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M^2+m^2\)의 값을 구하시오.

응용예제15

그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=2\), \(\overline{\mathrm{AC}}=3\), \(\angle\mathrm{A}=30^{\mathrm o}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 변 \(BC\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 두 직선 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\) 위에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{M}\), \(\mathrm{N}\)이라 하자. \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PM}}+\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PN}}\)의 최솟값이 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와  \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

응용예제16

두 양수 \(x,y\)에 대하여 \(x+2y=30\)을 만족할 때, \(\displaystyle \frac{x}{18}+\frac{36}{x+y}+1\)은 \(x=a,y=b\)에서 최솟값 \(m\)을 갖는다. \(abm=N\)이라 할 때, \(N\)의 각 자릿수를 있는데로 고르면?
\(\quad\)(ㄱ) 1 (ㄴ) 2 (ㄷ) 4 (ㄹ) 5 (ㅁ) 8

응용예제17

정수 \(a\)에 대하여 함수 \(f_a(x)\)를 \(t\)에 대한 방정식 \(t^8=(x+1)(a-x)-\frac{9}{4}\)의 서로 다른 실근의 개수로 정의하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f_a(x)\)가 상수함수가 되도록 하는 \(a\)의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (반드시 \(f_a(x)\)가 상수함수가 되지 않는 경우 2가지와 상수함수가 되는 경우 1가지를 분류하여 서술하시오.)