원리합계

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/원리합계

등비급수는 대표적으로 닮은 도형의 합을 구하는 것과 원리합계가 있습니다. 닮은 도형의 합은 무한등비급수에서 자세히 설명될 것입니다.

원리합계는 원금과 이(리)자를 합하는 것들을 통칭하는 말입니다. 여기서는 기본 이론으로부터 다음의 네 가지 유형을 생각할 수 있습니다.

• 기수불
• 기말불
• 상환(할부)
• 연금의 현가

원리합계의 네 가지 유형에 대한 공식을 외우는 것보다는 원금과 이자를 구하는 과정과 등비급수를 만드는 과정을 이해해 두는 것이 필요합니다. 그래야만 이를 응용한 문제들에 적응할 수 있습니다.

원리합계 문제에 대한 분석

등비수열의 합인 등비급수이므로 공비가 1인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어집니다. 그렇지만 공비가 1인 경우에는 변화 없이 초항이 계속 유지되는 경우이므로 이를 다루지는 않습니다.

한편, 공비가 1이 아닐 때 등비급수의 식은 다음과 같이 구해져 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n=\frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}\)

위 식에서 미지수로 둘 수 있는 것은 초항, 공비, 항수 뿐입니다.

문제의 표현에 따라 수식을 세우는 기본 방법만 이해한다면, 원리합계와 관련된 문제들은 쉽게 풀 수가 있습니다.

공비 구하기

원리합계와 관련된 문제들은 실생활 문제이므로, 공비가 얼마라는 표현을 쓰지 않습니다. 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

• 현재값의 k%씩 증가한다.
• 현재값의 k%씩 감소한다.

첫 번째 값이 \(A\)인 경우에 두 번째 값은 다음과 같이 표현됩니다.

• 증가 \(\displaystyle A+A\times \frac{k}{100}=A\left(1+\frac{k}{100}\right)\)
• 감소 \(\displaystyle A-A\times \frac{k}{100}=A\left(1-\frac{k}{100}\right)\)

세 번째 값을 구할 때에도 두 번째 값을 \(A\)라고 치환해 버리면 항상 같은 수식을 이용할 수 있습니다. 그러므로 공비는 다음과 같습니다.

• 증가일 때, 공비\(\displaystyle =1+\frac{k}{100}\)
• 감소일 때, 공비\(\displaystyle =1-\frac{k}{100}\)

항수 구하기

매월, 매년과 같은 경우는 항수를 월마다 계산할 수 있지만, 매 15분마다와 같은 경우에는 15분을 한 단계로 생각하는 것이 편합니다. 15라는 숫자를 들고 다닐 필요가 없습니다.

비교 시점

좌우변의 식을 만들 때에는, 가치(값)를 비교하는 시점이 서로 같아야 합니다. 할부나 연금의 현가 등의 경우에 비교 싯점이 같아야 함을 기억해 두어야 합니다.

정기 예금 

원리합계에서 정기예금을 가장 먼저 소개하는 이유는 다른 문제의 기본이 되기 때문입니다. 정기예금은 오직 한 번만 돈을 맡기고(초기치) 일정한 기간 후에 돈을 찾는 경우를 말합니다.

예를 들어 다음과 같은 경우입니다.

원금 1억원을 월이자 3%씩으로 1년간 맡겼을 때 만기에 찾을 수 있는 금액은 얼마일까요?

\(\quad\)\(k=1\)

\(\quad\)\(a_1=k+k\times 0.03=k(1+0.03)=k\cdot1.03\)

\(\quad\)\(a_2=a_1+a_1\times 0.03=a_1\cdot 1.03= k\cdot1.03^2\)

\(\quad\)\(a_3=a_2+a_2\times 0.03=a_2\cdot 1.03= k\cdot1.03^3\)

\(\quad\)\(\vdots\)

\(\quad\)\(a_{12}=a_{11}+a_{11}\times 0.03=a_{11}\cdot 1.03= k\cdot1.03^{12}\)

여기서 \(1.03^{12}\)에 대한 값은 상용로그를 이용해서 구할 수 있습니다.

정기적금

정기예금은 현재 있는 목돈을 한 번만 맡기는 경우입니다. 정기적금은 월급의 일부를 정기적으로 맡겨서 목돈을 만드는 경우에 주로 이용합니다.

다른 면에서 생각해 보면, 정기적금은 정기예금을 여러 번 하는 경우라고 볼 수도 있습니다. 정기예금에서는 원금과 이자가 더해져서 규칙을 갖는 하나의 항으로 표현되었습니다. 반면에 정기적금은 여러번 금액을 입금하기 때문에, 입금한 금액마다, 정기예금 형태로 저장됩니다. 그렇기 때문에 입금한 횟수만큼의 합의 형태를 띠게 됩니다.

한편, 기수불과 기말불이 생기는 이유는 계약당시에 첫 번째 금액을 입금할 수 있는 경우와 없는 경우로 나뉘기 때문입니다.

동일한 계약 조건이라면 기수불과 기말불의 차이는 등비급수의 초항에서만 나타납니다.

즉, 기수불/기말불의 용어에 대한 이해가 필요하지 않다는 것입니다. 공비에 대한 것은 정기예금에서 이미 다루었기 때문에, 항수와 초항에 대한 비교만이 필요합니다.

아래 그림처럼, 기말불은 적금을 찾는 날에 마지막 회의 금액을 입금을 하는 경우입니다.

기수불

기수불은 월초(연초)에 금액을 맡기고 월말(연말)에 적금을 찾을 때, 붙이는 이름입니다.

위 그림이 금액\(A\)를 \(n\)회 입금하는 기수불의 예입니다. 그림에서 보면 월초에 \(A\)의 금액이 각각 정기예금 형태만큼 이자가 붙어서 우측의 \(n\)개의 항으로 만들어집니다. 만기일에 받을 금액은 공비가 (1+실숫값)인 등비급수입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n=\frac{a(1+실숫값)\{(1+실숫값)^n-1\}}{(1+실숫값)-1}\)

계약 당일에 첫 번째 금액을 납부할 돈이 있는 경우를 말합니다.
예를 들어, 다음과 같은 경우입니다.

연초에 매월초에 연초부터 50만원씩 월이율 1%로 1년간 맡겼을 때, 연말에 찾게 될 금액은 얼마일까요?

\(\quad\)\(\displaystyle S_{12}=\frac{50(1+0.01)\left\{(1+0.01)^{12}-1\right\}}{(1+0.01)-1}\)

기말불

기말불은 월말(연말)에 금액을 맡기고 월말(연말)에 적금을 찾을 때, 붙이는 이름입니다.

위 그림이 금액\(A\)를 \(n\)회 입금하는 기말불의 예입니다. 기수불과의 차이점은 매회의 금액이 월말에 입금을 하기 때문에 기수불에 비해서 이자가 1번씩 덜 붙게 됩니다. 그리고 마지막 금액은 만기일날 입금하기 때문에 이자가 붙지 않습니다. 그렇지만, 기수불과 같이 \(n\)회 입금을 하고 공비가 같으므로 초항만 다른 등비급수입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n=\frac{a\{(1+실숫값)^n-1\}}{(1+실숫값)-1}\)

계약 당일에 첫 번째 금액을 납부할 돈이 없는 경우를 말합니다. 월급을 받은 후에 첫번째 금액을 납입하는 경우입니다.

예를 들어, 다음과 같은 경우입니다.

연초에 매월말에 50만원씩 월이율 1%로 1년간 맡겼을 때, 연말에 찾게 될 금액은 얼마일까요?

\(\quad\)\(\displaystyle S_{12}=\frac{50\left\{(1+0.01)^{12}-1\right\}}{(1+0.01)-1}\)

상환

돈을 빌리거나 물건의 대금을 갚을 때에, 매년 일정한 금액씩 갚아가는 것을 연부상환이라 하고, 이 일정한 금액을 연부금이라고 합니다. 또한, 매월 일정한 금액씩 갚아가는 경우에는 이를 월부상환이라 하고, 이 일정한 금액을 월부금이라고 합니다.

일반적으로 문제에서는 매년 일정한 금액씩을 갚아가는 형식이지만, 식을 세울 때에는 매년(월) 일정한 금액씩을 적립해 두었다가 전체 적립총액(정기적금)을 찾아 한꺼번에 갚아 버린다고 사고하는 것이 바람직합니다. 이때, 주의할 점은 갚아야 할 금액은, 현재의 금액이 아니라, 현재 금액에 \(n\)단계의 이자가 붙은 금액이라는 점입니다.

즉, 현재 금액의 \(n\)단계의 정기예금과 갚아야 할 일정한 금액의 \(n\)단계의 정기적금을 같게 하는 문제입니다.

따라서, 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle A(1+실숫값)^n=\frac{a\{(1+실숫값)^n-1\}}{(1+실숫값)-1}\)

연금의 현가

상환에서는 현재의 빌린 금액을 \(n\)회로 나누어서 갚아 나가는 문제라면, 연금의 현가는 미래에 일정한 금액으로 \(n\)회 받을 수 있는 증서를 현재 한꺼번에 받으려는 문제입니다. 결국 두 응용문제는 같은 문제이며, 구하려는 것이 상환에서는 \(a\)였다면, 연금의 현가에서는 \(A\)를 구하는 문제입니다.

다른 접근

이런 시각은 정기적금의 관점에서 작성된 것으로 보입니다. 왜냐하면 돈을 찾게 되는 날은 \(n\)년이 지난 후이기 때문에, 공식이 만들어지는 시점이 미래 상황이 되는 것이 맞습니다.

어쨌든, 연금의 현가는 미래에 받을 권리를 현재 돈으로 바꾸는 문제이기 때문에 현재 시점에 돈이 얼마인지로 계산의 방향이 바뀌어야 합니다. 일 년 후의 \(a\)원은 현재는 얼마일까요? 현재 받으려는 금액을 \(A_1\)라고 하면 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(A_1(1+r)=a\)

\(\quad\)\(\displaystyle \therefore A_1=\frac{a}{1+r}\)

위의 그림처럼, 화살표의 방향이 바뀌어서 식이 만들어질 것입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{a}{(1+r)}+\frac{a}{(1+r)^2}+\frac{a}{(1+r)^3}+\cdots+\cdots+\frac{a}{(1+r)^n}\)

\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{\frac{a}{(1+r)}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right)}{1-\frac{1}{1+r}}\)

\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{a\left(1-\frac{1}{(1+n)^n}\right)}{r}\)

여기서 \(r\)은 "상환"에서 "실숫값"으로 표현한 변동 없는 연간 이자율입니다. 또한 위 식은 "상환"에서 만들어진 식을 \((1+실숫값)^n\)으로 양변을 나눈 식과 같습니다. 

한편, 위 식은 미래에 \(n\)회의 정해진 연금을 받는 식입니다. 그렇다면, 연금을 무한히 받을 경우에는 등비급수의 문제로 바뀌게 됩니다. 즉, \(n\rightarrow \infty\)이므로, 식은 다음과 같이 간단히 쓰입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{a}{r}\)

문제의 해결 방안

원리합계 문제는 문제의 설명에 주의를 요합니다. 예를 들어, 다음의 예를 보겠습니다.

• 1년 후부터 매년마다 100만원씩 20회 받을 수 있는 연금의 현가
• 오늘부터 매년마다 100만원씩 20회 받을 수 있는 연금의 현가

두 번째 경우는 첫 번째 19회 받을 수 있는 첫번째 예제+100만원입니다. 이런 씩으로 기본 원리합계를 비틀어서 만들어진 문제를 간혹 출제되는 경우도 있습니다.

결국은 문제에서 주어지는 현재 시점에서 언제 돈을 찾는지가 중요합니다. 그래야 몇 단계의 이자가 붙는지 알 수 있기 때문에 적절한 식을 세울 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

연초에 일정액을 예금하면 매년 말에 연이율 \(5\%\)의 복리로 이자가 계산되어 예금 통장에 이자가 입금되는 상품이 있다. 2009년 초에 이 상품에 가입하여 1억원을 예금한 다음, 2010년부터는 매년 초에 통장에 남아 있는 금액의 \(\frac{1}{2}\)을 찾아서 썼다. 2020년 초에 통장에 남아 있는 금액의 \(\frac{1}{2}\)을 찾은 직후 통장에 남아 있는 금액은 약 얼마인가? (단, \(1.05^{10}=1.6\)으로 계산하고, 천의 자리에서 반올림한다.)

응용예제2

2011년 초부터 2015년 초까지 매년 초에 \(a\)원식 적립하고 이후 더 이상 적립하지 않을 때, 2019년 말 갑의 원리합계를 \(S\)라 하자. 을은 2015년 초에 \(a\)원을 적립하고 2019년 초까지 매년 초에 \(3\%\) 증액한 금액을 적립할 때, 2019년 말 을의 원리합계를 \(T\)라 하자. \(\displaystyle \frac{32T}{S}\)의 값은?
(단, \(1.03^5=1.16\), 연이율 \(3\%\)의 복리로 계산한다.)