부등식의 영역에서의 최대 최소

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일차부등식에서 \(x\) 변수와 \(y\) 변수의 영역이 각각 주어졌을 때, 이들 사이의 사칙연산에 대해 알아보았습니다.

만약 이것을 좌표평면 위에 부등식의 영역으로 표시했을 때에는 어떻게 구할 수 있을까요?

예를 들어, \(1\leq x\leq 4, 2\leq y\leq 4\)의 영역에서 \(x+y\)의 최댓값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

• 구하려는 값을 \(x+y=k\)라고 둡니다.
• \(y=-x+k\)로 일차함수로 바꿉니다.
• 부등식의 영역을 좌표평면 위에 표시합니다.
• 부등식의 영역을 지나면서 \(y\)절편의 영역을 표시합니다.
• \(y\)절편의 최댓값을 구합니다.

오른쪽 그림에서처럼 부등식의 영역을 지나는 직선의 \(y\)절편은 \(3\leq k \leq 8\)의 사이를 움직입니다. 그러므로 최솟값은 3, 최댓값은 8입니다.

여기서는 \(x,y\)에 대한 각각의 영역이 주어진 경우입니다.

\(x,y\) 변수가 부등식으로 각각 주어지면 직사각형 모양의 부등식의 영역이 만들어집니다.

만약, 연립부등식의 영역으로 주어지면, 먼저 부등식을 만족시키는 점 \((x,y)\)의 영역을 좌표평면 위에 표시를 해야 합니다. 그 이후에 \(f(x,y)=k\)로 두고, 이 도형이 부등식의 영역을 지날 때에 \(k\)의 값을 범위를 기하학적으로 구할 수 있습니다.

자주 사용되는 \(\mathbf{ f(x,y)=k}\)의 꼴은 다음과 같은 것이 있습니다.

\(x+y=k\)	\(\Rightarrow y=-x+k\)의 \(y\)절편
\(y-x^2=k\)	\(\Rightarrow y=x^2+k\)의 \(y\)절편
\(x^2+y^2=k\)	\(\Rightarrow x^2+y^2=k\)의 반지름의 제곱
\(\frac{y}{x}=k\)	\(\Rightarrow y=kx\)의 기울기

최대/최소의 활용

어느 공장에서 생산하는 두 제품 A, B에 대하여 A, B를 각각 1개씩 만드는 데 필요한 원료 P, Q의 양이 아래 표와 같다. 하루에 공급되는 원료 P, Q의 총량이 각각 20kg, 17kg이고 A, B 제품 1개에 대하여 각각 2500원, 3000원의 이익을 얻는다고 할 때, 이 공장에서 A, B 제품을 생산하여 하루에 얻을 수 있는 최대 이익을 구하여라.

재료	A(x)	B(y)
P	200g	200g
Q	150g	200g

해설) 하루에 생산되는 제품 \(\mathrm{A,B}\)의 개수를 각각 \(x,y\)로 놓으면, 하루동안 제품을 생산하는데 필요한 원료는 다음과 같이 필요합니다.

\(\quad\)원료 P: \(200x+200y\)

\(\quad\)원료 Q: \(150x+200y\)

제품은 0개 이상 만들어지고, 주어진 원료의 총량을 알고 있기 때문에, 다음의 4개의 부등식이 만들어집니다.

• \(x\geq 0\)
• \(y\geq 0\)
• \(200x+200y \leq 20000\Rightarrow x+y\leq 100\cdots(1)\)
• \(150x+200y \leq 17000\Rightarrow 3x+4y \leq 340\cdots(2)\)

오른쪽 그림의 어두운 부분이 위 4개의 부등식을 만족하는 영역입니다.

또한, 생산된 \(x,y\)개의 제품으로 얻을 수 있는 이익 \(k=2500x+3000y\)를 정리해서 일차함수를 만듭니다.

\(\quad\)\(y=\displaystyle -\frac{5}{6}x+\frac{k}{3000}\quad\cdots(3)\)

직선 (3)이 부등식의 영역의 좌표를 대입했을 때 y절편이 가장 크게 만들어지도록 그림을 표시합니다. 이 경우에는 (1),(2)직선의 교점을 지날 때가 최댓값이 됨을 알 수 있습니다.

교점은 (1),(2)의 연립방정식으로 구해지며, M(60,40)입니다.

이를 대입하면 이익의 최댓값은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\( k=2500\times 60+3000 \times 40=270000\)(원)

교점에 대한 고찰

이런 유형의 문제에서 교점이 최댓값인 경우가 많아서 무심코 넘겨버리기 쉬운 것이 있습니다. 즉,

교점이 최댓값이 되는 이유는 무엇일까요?

그 이유는 이익에 대한 직선이 주어진 두 직선의 기울기의 사이에 있기 때문입니다.

\(\quad\)\(-1<-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}\)

그러면 기울기가 사이에 있지 않을 때에는 언제가 최댓값이 될까요?

만약 이익에 대한 직선의 기울기가 \(-2\)인 직선(빨간색)인 경우에는 좌표 (100,0)을 대입했을 때가 최댓값이 됩니다. 기울기가 \(-2\)인 경우는 제품 A의 이익이 제품 B의 이익의 2배라는 의미입니다. A를 파는 게 훨씬 이익이니 A만 만들어 판다는 얘기입니다.

반대로 제품 B의 이익이 제품 A의 이익의 2배인 경우에는 기울기가 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\)입니다. 이때에는 직선(보라색)이 좌표 (0,85)를 지날 때, 이익이 최댓값이 됩니다.

교점이 분수인 경우

이익에 대한 직선의 기울기가 조건의 기울기의 중간을 지나가면, 교점을 대입했을 때 최댓값을 갖습니다. 그러나 교점의 좌표가 자연수가 아니면, 그 값을 대입해서 이익을 구할 수 없습니다. 왜냐하면 완제품만 판매가 가능하기 때문입니다.

이때에는 어떤 값을 대입해야 할까요?

예를 들어 교점의 좌표가 \(\displaystyle \left(\frac{179}{3},\frac{277}{7}\right)\)로 구해지면 각각의 최대 정수값은 59, 39이 맞습니다.

그러나 (59,39)를 대입했을 때가 이익의 최댓값이 아닐 수도 있습니다. 남아 있는 A의 2/3와 B의 4/7을 갖고 제품 A나 B를 1개 더 만들 수 있는 가능성이 있기 때문입니다.

남는 원료를 계산하는 방법은 조금 귀찮기 때문에 다음과 같이 가능성을 확인합니다.

만약 A를 1개 더 만들 수 있는 경우라면, (60,39)이 됩니다. 이때에 조건으로 주어지는 부등식을 만족하는지 확인을 해야 합니다.

반면에 B를 1개 더 만들 수 있는 경우라면, (59,40)이 됩니다. 이것도 조건으로 주어지는 부등식을 만족하는지 확인을 해야 합니다.
경우는 4가지가 있습니다.

• 둘 다 만들지 못하는 경우는 (59,39)를 대입한 것이 최댓값입니다.
• A만 만들 수 있는 경우는 (60,39)를 대입한 것이 최댓값입니다.
• B만 만들 수 있는 경우는 (59,40)을 대입한 것이 최댓값입니다.
• 둘 다 만들 수 있는 경우는 (60,39)와 (59,40)을 대입해서 큰 값이 최댓값입니다.