역함수

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Main article: Inverse function

역함수(inverse function)는 정의역과 대응하는 함숫값을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수입니다. 즉, 역함수는 원래 함수의 공역을 정의역으로 정의역을 공역으로 갖고, 대응관계 또한 거꾸로 이루어질 때 발생합니다. 이 말은 원래 함수가 반드시 일대일대응이어야 함을 의미합니다.

정의

함수  \(f\colon X\to Y\)가 주어졌을 때, 함수 \(g\colon Y\to X\)가 다음 조건을 만족시키면, \(f\)의 왼쪽 역함수(left inverse function)이라고 합니다.

• 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(g(f(x))=x\)

마찬가지로, 함수 \(h\colon Y\to X\)가 다음 조건을 만족시키면, \(f\)의 오른쪽 역함수(right inverse function)이라고 합니다.

• 임의의 \(y\in Y\)에 대하여, \(f(h(y))=y\)

함수  \(f\colon X\to Y\)의 역함수 \(f^{-1}\colon Y\to X\)는 \(f\)의 왼쪽 역함수이자 동시에 오른쪽 역함수를 만족하는 함수입니다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수입니다.

• 임의의 \(x\in X\) 및 \(y\in Y\)에 대하여, \(y=f(x)\)와 \(x=f^{-1}(y)\)는 서로 필요충분조건입니다.

역함수를 갖는 함수는 역-가능 함수(invertible function) 또는 일대일대응이라고 말합니다. 일대일대응이 아닌 경우에도, 그 함수의 정의역이나 공역을 줄여 일대일대응을 만든 후에 역함수를 정의할 수 있습니다.

  

역함수 구하기

정의역과 공역이 유한 원소를 갖는 함수의 역함수는 그림으로 쉽게 처리가 가능합니다. 예를 들어, 다음 두 함수는 역함수 관계입니다.

 

반면에 정의역과 공역이 관계식으로 주어질 경우에 역함수는 어떻게 표현할까요?

함수 \(y=f(x)\)의 역함수는 \(x=f^{-1}(y)\)로 표현됩니다. 이 말은 원래 함수에서  정의역에 해당하는 문자(\(x\))와 함숫값(치역)에 해당하는 문자(\(y\))를 바꾼 것이 원래 함수의 역함수를 의미합니다. 그러나 함수로 표현할 때에는 정의역의 문자를 \(x\)로 함숫값을 \(y\)로 나타내기 때문에 역함수의 식을 정리해서 좌변에 \(y\)가 오도록 해야 합니다. 예를 들어, 다음의 과정을 거쳐서 역함수를 만듭니다.

• \(f(x)=x+3\) : 원래 함수
• \(y=x+3\) : 원래 함수
• \(x=y+3\) : 역함수
• \(y=x-3\) : 역함수
• \(f^{-1}(x)=x-3\) : 역함수

그럼, 원래 함수의 역함수를 구한 것이 맞는지 확인을 할 때에는 어떻게 해야 할까요?

역함수 \(f^{-1}(x)=g(x)\)라고 하면, \(g(f(x))=f(g(x))=x\)를 만족해야 합니다.

• \(g(f(x))=f(x)-3=(x+3)-3=x\)
• \(f(g(x))=g(x)+3=(x-3)+3=x\)

역함수의 성질

일대일대응인 함수 \(f\colon X \to Y\)와 역함수 \(f^{-1}\colon Y \to X\) 사이에는 다음과 같은 성질이 있습니다.

• \(\left( f^{-1} \right)^{-1}=f\)
• \(f^{-1}\circ f=f \circ f^{-1}=I\)
• \(f(a)=b \Longleftrightarrow f^{-1}(b)=a\)

역함수의 그래프

원래 함수 \(y=f(x)\)와 그의 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프 사이의 관계는 어떻게 될까요?

도형의 대칭이동에서 도형 \(f(x,y)=0\)을 직선 \(y=x\)에 대칭이동하면, \(f(y,x)=0\)가 됨을 배웠습니다. 

또한, 역함수는 원래 함수의 정의역에 대한 문자(\(x\))와 함숫값에 대한 문자(\(y\))를 바꾼 것으로 정의가 됨을 알아보았습니다.

그러므로 함수도 도형의 일종이므로 원래 함수와 역함수는 직선 \(\mathbf{y=x}\)에 대해서 대칭 관계에 있습니다.

합성함수의 역함수

합성함수의 역함수는 어떻게 구할까요?

일대일대응인 다음 두 함수

\(\quad\)\(f\colon X\to Y\)

\(\quad\)\(g\colon Y\to Z\)

에 대한 합성함수와 그 역함수는 다음의 그림으로 표현됩니다.

  

그림에서 표현된 합성함수 \((g\circ f)(x)=z\)에 대한 역함수는, 역함수의 정의에 따라, \((g\circ f)^{-1}(z)=x\)로 표현할 수 있습니다. 

한편 역함수의 합성함수는, 합성함수의 정의에 따라, \((f^{-1} \circ g^{-1})(z)=x\)로 표현할 수 있습니다.

따라서, 위의 두 관계식에 의해, 합성함수의 역함수는 다음과 같은 성질을 갖게 됩니다.

\(\quad\)\((g\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}\)

집합에서 드 모르간의 법칙과 비교해서 기억해 두면 좋겠습니다. 드 모르간의 법칙에서는 집합의 연산자가 바뀌지만, 합성함수의 역함수에서는 위치가 바뀝니다.

역수와 역함수

실수에서 임의의 숫자에 임의의 숫자를 곱해서 새로운 숫자를 만들 때, 원래 두 숫자 중에 하나의 숫자를 구하기 위해, 곱해진 다른 숫자를 제거할 필요가 있습니다. 이때, 제거하려는 숫자가 곱셈에 대한 역원이 존재하면, 두 숫자가 곱해진 결과에 그 숫자의 역원을 곱함으로써, 나머지 숫자를 구할 수 있습니다.

예를 들어, x, y의 두 숫자의 곱으로부터, x를 구하고 싶으면, y의 곱셈에 대한 역원이 존재하면, 그의 역원을 곱해서 x를 구할 수 있습니다. 즉, 

\(\quad\)\(\displaystyle x\cdot y \cdot \frac{1}{y}= x\cdots(1)\)

또한, 식 (1)에서 곱셈의 결과식이 아래와 같이 다르더라도, 곱셈의 교환법칙에 의해 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle y\cdot x \cdot \frac{1}{y}= x\cdot y \cdot \frac{1}{y}= x\cdots(2)\)

게다가, 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는 실수는 유일하게 0 하나뿐이기 때문에, 0에 대해서는 식 (1)과 (2)를 사용해서 원래 숫자가 무엇인지를 알아낼 수 없습니다.

한편, 실수의 곱셈은 함수에서는 함수 사이의 합성으로 이해될 수 있습니다. 물론 수학적 대상이 다르기 때문에, 연산의 과정은 다릅니다.

어쨌든, 어떤 함수에 다른 함수를 합성해서, 새로운 함수가 만들어지는데, 어떤 함수를 제거해서 원래 함수를 구하기 위해, 함수의 역함수를 합성할 필요가 있습니다.

실수에서와 달리, 함수의 합성은 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 어떤 함수를 제거할 때, 함수가 놓인 위치가 중요합니다. 이런 이유로, 역함수의 정의에서도 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수라는 두 가지 용어가 사용됩니다.

또한, 실수에서는 역원이 존재하지 않는 숫자가 0 하나뿐이지만, 함수에서는 역함수가 존재하려면, 함수가 일대일대응이 되어야 하는데, 대체로 일대일대응이 되는 함수는 함수 중에서 아주 작은 부분을 차지할 뿐입니다. 따라서, 함수가 역함수가 존재하는지 아닌지 여부를 먼저 생각해야 합니다.

예를 들어, \(f(x)=-2x+1, g(x)=x-1\)에 대하여, \(f\circ h =g\)를 만족하는 함수 \(h\)를 구하는 과정을 생각해 보십시오.

먼저, 제거해야 할 함수가 \(f\)이고, 기울기가 0이 아닌 일차함수이므로, 역함수가 존재합니다. 그리고, 그의 위치가 앞에 놓여 있기 때문에, 역함수를 그 보다 앞에 합성해야 합니다.

\(\quad\)\(f^{-1} \circ f \circ h = f^{-1} \circ g\cdots(3)\)

따라서, 결과는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(I \circ h = h = f^{-1} \circ g\)

이때, 아래와 같이 중간에 새로운 함수를 끼워서 합성을 할 수는 없다는 사실을 기억할 필요가 있습니다. 비록 합성 사이에 새로운 함수를 끼워 넣는 합성을 정의할 수 있을지라도, 식 (3)에서 오른쪽 변은 하나의 함수로 표현되었기 때문에, 중간에 끼워넣는 합성을 절대 수행할 수 없기 때문에, 양쪽 변에 그런 연산을 수행할 수 없습니다.

\(\quad\)\(f \circ f^{-1} \circ h \neq f^{-1} \circ g \neq g \circ f^{-1}\)

만약, 순서를 바꾸어서, \(k \circ f =g\)를 만족하는 함수 \(k\)를 구하는 과정을 생각해 보십시오.

이때에는 제거해야 할 함수 \(f\)가 뒤에 놓여 있기 때문에, 다음과 같이 구할 수 있습니다:

\(\quad\)\(k \circ f \circ f^{-1} = g \circ f^{-1}\cdots(4)\)

따라서, 결과는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(k \circ I = k = g \circ f^{-1}\)

한편, 이런 과정에서, 역함수를 반드시 이용할 필요는 없는데, 왜냐하면, 역함수를 구하는 과정은, 어쨌든, 상대적으로 연산이 많고, 실수가 많이 발생할 수 있기 때문입니다.

첫 번째 경우에서, 식 (3)을 사용하지 않고, 합성함수로부터 바로 결과함수를 얻을 수 있습니다. 즉,

\(\quad\)\(\begin{align}
f \circ h & = f(h) \\
& = -2h - 1 \cdots(5)
\end{align}\)

식 (5)는 \(g\)와 같으므로, 따라서, 함수 \(h\)는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle h = -\frac{1}{2} x\)

한편, 두 번째 경우에서, 함수 \(k\)가 어떤 함수인지 정의가 되어있지 않으므로, 합성함수의 정의를 이용하는 식 (5)를 얻는 과정을 직접 쓸 수는 없을 것으로 보입니다.

문제에서, k가 일차함수 또는 다항함수라는 조건이 없을 때에는, k가 유일하게 일차함수에서만 가능한지를 먼저 서술하는 것이 바람직하기 때문입니다. 따라서, 이 경우에서, 식 (4)를 이용하는 것이 바람직합니다.

물론, 이 문제에서는 일차함수의 역함수는 일차함수이고, 일차함수와 일차함수의 합성함수는 일차함수라는 것을 알고 있기 때문에, 또는 그 논리를 적은 후에, k가 일차함수라는 결론에 도달할 수 있습니다. 만약, 보다 일반적인 경우에 역함수가 어떤 함수인지 표현하기 곤란하고, 그 결과를 다른 함수와 합성하는 것이 더더욱 표현하기 곤란한 경우에는 앞의 논리로 생각하는 것이 바람직해 보입니다.

만약, 조건에서 k가 일차함수 또는 다항함수라는 조건, 즉, 특정함수로 제한한 경우에는, \(k=ax+b\)로 두고, 식 (5)를 얻는 과정을 진행해서, 항등식으로부터 답을 구할 수 있습니다.

역함수에 대한 이러한 성질은, 비록 지금은 교과과정에서 빠져 있을지라도, 역행렬에서도 같은 쓰임을 갖고 있습니다. 단지 어떤 행렬의 역행렬이 존재할 조건은 그의 행렬식이 0이 되지 않은 것으로, 함수와 다르게 보다 대수적인 과정을 거쳐서 판정할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

함수 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(f(2x-3)\)의 역함수는?

응용예제2

이차방정식 \(x^2-2x-5=-4x+k\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \le \beta)\)에 대하여 실수에서 정의된 함수

\(\quad\)\(f(x)=\left\{\begin{align}
x^2-2x-5 &\;\;(x < \beta) \\
-4x+k &\;\;(x \ge \beta)
\end{align}\right.\)

가 있습니다. 이때, 함수 \(f\)의 역함수가 존재하기 위한 \(k\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 곱 \(Mm\)을 구하시오.

응용예제3

실수 전체의 집합 \(\mathrm{R}\)에서 \(\mathrm{R}\)로의 함수

\(\quad\)\(f(x)=\left\{\begin{align}
x^2-ax+b &\;\;(x \ge 2) \\
x-2 &\;\;(x < 2)
\end{align}\right.\)

의 역함수가 존재하도록 음이 아닌 실수 \(a,b\)를 정할 때, 점 \((a,b)\)를 만족하는 선분의 길이를 구하여라.

응용예제4

함수 \(\displaystyle y=\frac{(2a-1)x+1}{x-a}\)의 그래프를 \(x\)-축 방향으로 5만큼, \(y\)-축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하였더니, 원래 함수의 역함수의 그래프와 일치합니다. 이때, 상수 \(a,b\)의 값을 구하여라.

응용예제5

함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2+a\) (단, \(x \ge 0\))의 역함수를 \(g(x)\)라고 놓습니다. 방정식 \(f(x)=g(x)\)가 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하여라.

응용예제6

실수 전체의 집합 \(R\)에서 \(R\)로의 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 존재하고, 임의의 두 실수 \(a,b\)에 대하여

\(\quad\)\(f(a+b)=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)\)

가 성립할 때, 다음에서 옮은 것을 전부 고른 것은?

\(\quad\)(ㄱ) \(f(1)=1\)이면 \(f(4)=3\)

\(\quad\)(ㄴ) \(f^{-1}(a+b)=f(a)+f(b)\)

\(\quad\)(ㄷ) \(f(a)=b,\;f(b)=a\)이면 함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 직선 \(y=x\)와 적어도 한 점에서 만난다.

응용예제7

함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}mx-m+5\) (\(m \neq 0\)인 상수)의 그래프와 그 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나도록 하는 \(m\)의 값을 \(m_1\), 만나지 않도록 하는 \(m\)의 값을 \(m_2\)라 할 때, 함수 \(\displaystyle g(x)=\left|-\frac{1}{2}m_1 x+1\right|+\frac{3}{4}m_2 x-2\)와 그 역함수 \(y=g^{-1}(x)\)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

응용예제8

두 집합 \(A=\{1,2,3,4\},\;B=\{2,3,4,5\}\)에 대하여 두 함수 \(f:A\to B,\;g:B\to B\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(f(3)=5,\;g(2)=3\)

\(\quad\)(ㄴ) 어떤 \(x \in B\)에 대하여 \(g(x)=x\)이다.

\(\quad\)(ㄷ) 모든 \(x \in A\)에 대하여 \((f \circ g \circ f)(x)=x+1\)이다.

응용예제9

함수 \(f(x)=\left\{
\begin{align}
& x^2-2kx+k^2+1 & (x \ge k) \\
& 3(x-k)+1 & (x < k) \\
\end{align}\right.\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\)가 서로 다른 두 점 이상이 되도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위는?