아폴로니우스의 원

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/아폴로니우스의_원

See also: Circles of Apollonius and Circle § Circle_of_Apollonius

두 정점 \(\mathrm{A,B}\)로부터 거리의 비가 \(m:n\) (일정)인 점 \(\mathrm P\)의 자취는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분, 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원입니다. (단, \(m\neq n\))

증명1

\(\mathrm{M,N,P}\)은 모두 \(\mathrm{A,B}\)를 \(m:n\)으로 나누는 점이지만, 증명을 위해 \(\mathrm{M,N}\)은 특이점으로, \(\mathrm P\)는 그 외의 임의의 점으로 선택합니다. 즉, 지름의 양 끝점과 원주 위의 다른 한 점을 연결하면, 중심각이 180°이기 때문에 원주각이 90°라는 사실을 역으로 이용하여, 원주각이 90°인 것을 보임으로써, 당연히 중심각은 180°가 되고, 이로써 세 점은 원을 형성한다는 것을 보이는 것입니다. 또한, 이를 위해 삼각형에서 선분의 길이비가 특별한 경우에 내각과 외각을 이등분한다는 사실을 이용합니다.

선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분, 외분하는 점을 각각 \(\mathrm{M,N}\)이라고 하면, \(\mathrm{M,N}\)은 한직선 위에 있고, 원주 위에 존재합니다.

먼저, \(\mathrm{M,N}\)이 아니면서 조건을 만족하는 임의의 점을 \(\mathrm{P}\)라고 하면, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\mathrm {PA : PB}=m:n\)

\(\quad\)\(\mathrm {MA : MB}=m:n\)

\(\quad\)\(\therefore \mathrm {PA : PB}=\mathrm{AM : BM}\)

그러므로 \(\mathrm{PM}\)은 \(\triangle\mathrm{APB}\)에서 \(\angle\mathrm P\)의 내각의 이등분선입니다.
또한, 다음의 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\mathrm {NA : NB}=m:n\)

\(\quad\)\(\therefore \mathrm {PA : PB}=\mathrm{AN : BN}\)

그러므로 \(\mathrm{PN}\)은 \(\triangle\mathrm{APB}\)에서 \(\angle\mathrm P\)의 외각의 이등분선입니다.

위의 두 사실로부터 원주각 \(\angle \mathrm{MPN}=90^{\circ}\)입니다.

따라서 \(\mathrm P\)는 \(\mathrm{MN}\)을 지름으로 하는 원 위의 점입니다.

증명2

두 점 \(\mathrm{A,B}\)에 대하여 \(\mathrm{AP:BP}=m:n\)을 만족하는 점 \(\mathrm{P}\)의 자취의 방정식을 아폴로니우스의 원이라고 합니다.

정점 \(\mathrm A(x_1,y_1), \mathrm B(x_2,y_2)\)라고 놓고, 동점 \(\mathrm P(x,y)\)에 대해서 \(\mathrm{AP:BP}=m:n\)를 만족하므로 다음 비례식을 세울 수 있습니다.

\(\quad\)\(\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}:\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=m:n\)

\(\quad\)\(n\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=m\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\)

\(\quad\)\(n^2\left\{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\right\}=m^2\left\{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2\right\}\)

\(\quad\)\(\quad\quad\vdots\)

\(\quad\)\(\displaystyle x^2+y^2-\frac{2(m^2x_2-n^2x_1)}{m^2-n^2}x-\frac{2(m^2y_2-n^2y_1)}{m^2-n^2}y+\frac{m^2{x_2}^2+m^2{y_2}^2-n^2{x_1}^2-n^2{y_1}^2}{m^2-n^2}=0\)

\(\quad\)중심: \(\displaystyle \mathrm C\left(\frac{m^2x_2-n^2x_1}{m^2-n^2},\frac{m^2y_2-n^2y_1}{m^2-n^2}\right)\)

\(\quad\)반지름: \(\displaystyle r=\frac{m n\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}{|m^2-n^2|}\)

자취의 의미로 만들어진 원의 중심은, 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 두 점

\(\quad\)\(\displaystyle \left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\;\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\),

\(\quad\)\(\displaystyle \left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\;\frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)

의 중점에 해당하고,

또한, 당연하게도, 반지름은, 중점, 즉 중심에서 두 점 \(\mathrm{A,B}\) 중의 하나에 이르는 거리와 같습니다.

응용예제

응용예제1

두 점 \(\mathrm A(-2,0)\), \(\mathrm B(6,0)\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BP}}=k:1\) (\(k\neq 1\))인 점 \(P(x,y)\)를 원 \(\mathrm C\)의 중심이 \((14,0)\)입니다.

\(\quad\)(1) \(k\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)(2) 원 \(\mathrm C\)의 \(x\)-축으로 잘린 현의 길이를 구하시오.

\(\quad\)(3) 원 \(\mathrm C\)의 임의의 한 점 \(P(x,y)\)에 대하여 각 \(\mathrm{APB}\)의 이등분선의 \(y\)-절편이 그리는 도형의 길이를 구하시오. (단, \(x>14\))

응용예제2

두 점 \(\mathrm{A}(2,5)\), \(\mathrm{B}(5,2)\)로부터 거리의 비가 \(1:2\)인 점 \(\mathrm{P}\)가 나타내는 도형의 방정식은 원 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)입니다. 이때, 세 상수 \(a,b,r\)에 대하여 \(a+b+r^2\)의 값은?

응용예제3

두 점 \(\rm A(-6,0),\;\rm B(0,6)\)에 대하여 \(\overline{\rm{AP}}:\overline{\rm{BP}}=2:1\)을 만족하는 점 \(\rm P\)가 있다. 다음 질문에 답하여라.

\(\quad\)(1) 이때 점 \(\rm P\)가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.

\(\quad\)(2) 삼각형 \(\rm{PAB}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오.