지수함수와 로그함수의 미분

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지수함수와 로그함수에서 자주 사용하는 기본 함수에 대한 도함수를 미리 구해 놓고 공식처럼 테이블에서 읽어서 사용하고자 합니다.

지수함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 지수함수 \(y=a^x\)에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& =\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\
& =\lim_{h \to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} \\
& =a^x \lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h} \\
& =a^x \ln a \\
\end{align}\)

특히 \(a=e\), 즉 \(y=e^x\)이면, 도함수 \(y'=e^x\)입니다. 함수와 도함수가 같은 함수로써, 증명은 위의 증명 식에서 \(a\)를 \(e\)로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

지수에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 \(y=e^{\{f(x)\}}\)의 도함수는 \(y'=e^{\{f(x)\}} f'(x)\)입니다.
• 함수 \(y=a^{\{f(x)\}}\)의 도함수는 \(y'=a^{\{f(x)\}} f'(x) \ln{a}\)입니다.

로그함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 로그함수 \(y=\log_a x\)에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& =\lim_{h\to 0}\frac{\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}x}{h} \\
& =\lim_{h\to 0} \frac{\log_{a}(1+\frac{h}{x})}{h} \\
& =\lim_{h\to 0} \frac{1}{x\ln{a}}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}} \\
& =\frac{1}{x\ln{a}}
\end{align}\)

여기서, \(a=e\), 즉 \(y=\ln x\)이면, 도함수 \(y'=\frac{1}{x}\)입니다. 증명은 위의 증명 식에서 \(a\)를 \(e\)로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

로그에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 \(y=\ln{f(x)}\)의 도함수는 \(\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{f(x)}\)입니다.
• 함수 \(y=\log_{a}{f(x)}\)의 도함수는 \(\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{f(x)\ln{a}}\)입니다.