무리함수

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/제곱근_함수

Main article: nth root

수학에서, 형용사 "무리수(irrational)"를 함수에 대해 잘 사용하지 않습니다. 비록 일부 저자가 irrational function이라는 용어를 사용할지라도, 어쨌든, 고등학교 교과서에서 나오는 용어 무리함수는 보다 구체적인 "제곱근 함수"로 바꾸는 것이 좋겠습니다.

숫자에서, 실수 중에서 유리수를 제외하면 무리수라는 것으로 생각될 수 있지만, 함수에서는 유리함수가 아니면 무리함수라는 것이 크게 쓸모가 없습니다.

왜냐하면, 숫자에서, 개별적인 수학적 상수에 해당하는 \(\pi, e\) 등을 제외하고, 무리수를 표현하는 방법은 제곱근, 로그를 꼽을 수 있고, 그 외에 나머지 무리수는 그 자체를 표기할 수 있는 방법이 없기 때문입니다.

따라서, 로그 함수와 표현할 수 없는 무리수를 제외하면, 결국 표현 가능한 무리수에 해당하는 제곱근에 대한 함수로 부르는 것이, 마치 무리수 전체를 대변하는 듯한 무리함수라는 용어보다는 보다 구체적입니다.

표준형

제곱근_함수 \(y=k\sqrt{ax}\;(k\neq 0,\; a\neq 0)\)의 모양을 생각할 수 있습니다. 그러므로 \(k\)와 \(a\) 부호에 따라 모양이 달라집니다. 

한편, \(k\)의 절댓값은 제곱근 안쪽으로 들어갈 수 있기 때문에, 여기서는 \(k\)가 \(1, -1\)인 경우만을 다룹니다.

\(\quad\)\(y=k\sqrt{ax}=\)(\(k\)의 부호)\(\sqrt{k^2\cdot ax}\)

먼저 \(k=1, a>0\)인 경우를 보면, 오른쪽 그림처럼 그래프가 그려집니다. 여기서 \(ax\geq 0\)인 경우에만 그래프를 그릴 수 있습니다.

• 정의역 : \(\{x|x\geq 0\}\)
• 치역 : \(\{y|y\geq 0\}\)
• 원점과 1사분면만 그려집니다.
• 증가함수입니다.
• \(a\) 절댓값이 커질수록 \(x\)축에서 멀어집니다.
• 일대일 대응이므로 역함수가 존재합니다.

여기서 특별히 원점을 제곱근_함수의 꼭짓점이라고 합니다. 이를 꼭짓점이라고 부르는 이유는 제곱근_함수의 역함수에서 다룹니다.

대칭성

그래프의 모양에 영향을 끼치는 변수가 두 개이기 때문에 전체 네 가지의 그래프의 개형이 그려집니다.

변수 \(k\)와 \(a\)의 절댓값이 같고 부호가 다르게 되면 대칭관계를 가집니다. 

• 두 그래프에서 변수 \(k\)의 부호가 서로 다르면, 제곱근_함수 양변에 \(-1\)을 곱했을 때 \(y\)의 부호를 반대로 만들기 때문에 \(x\)축 대칭으로 그려집니다.
• 두 그래프에서 변수 \(a\)의 부호가 서로 다르면, \(x\)의 부호가 반대이므로 \(y\)축 대칭으로 그려집니다.
• 물론 두 그래프에서 \(k\)와 \(a\)의 부호가 각각 다르면, 원점 대칭으로 그려집니다.

표준형의 평행이동

제곱근_함수 \(y=k\sqrt{ax}\)를 \(x\)축의 양의 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축의 양의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(y=k\sqrt{a(x-p)}+q\)

예를 들어 \(y=\sqrt{x}\)를 \(x\)축의 양의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 양의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(y=\sqrt{x-1}+2\)

오른쪽 그림처럼 제곱근_함수의 꼭짓점의 좌표가 \((1,2)\)이동된 그래프를 그릴 수 있습니다.

일반꼴의 그래프 그리기

다음과 같은 일반적인 제곱근_함수의 모양은 어떻게 그릴까요?

\(\quad\)\(y=-\sqrt{-2x+4}+3\)

제곱근_함수의 그래프는 꼭짓점으로부터 출발하기 때문에 꼭짓점을 구하는 것이 가장 먼저입니다.

꼭짓점의 \(x\)좌표는 제곱근이 0이 되는 값입니다. 이 경우에는 \(x=2\)입니다. 

꼭짓점의 \(y\)좌표는 꼭짓점의 \(x\)좌표를 대입했을 때의 \(y\)좌표입니다. 이 경우에는 \(y=3\)입니다.

꼭짓점의 좌표 \((2,3)\)에서 0을 대입하면 제곱근 안의 값이 양수가 되므로 그래프를 그릴 수 있습니다. 그러므로 \(x=2\)보다 작은 쪽으로 그래프가 그려집니다.

다음으로 \(x=0\)일 때 \(y\)좌표는 \(y=3\)보다 작아집니다.

그러므로 제곱근_함수의 그래프는 꼭짓점의 왼쪽이면서 아래방향으로 그래프가 그려집니다. 이때 그래프는 이차함수의 곡선 형태가 되지 않도록 그려져야 합니다.

개형에 절편이 발생하는 경우에 값을 기입해 주는 것이 좋습니다.

제곱근_함수의 역함수

유리함수의 역함수를 구하는 것처럼 일반적인 제곱근_함수의 모양에 대한 공식을 유도할 수도 있겠습니다.

즉, 일반적인 제곱근_함수의 모양을 다음과 같이 만듭니다.

\(\quad\)\(y=a\sqrt{bx+c}+d\;\;(a, b\ne 0)\)

따라서, 위의 제곱근_함수의 역함수는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(x=a\sqrt{by+c}+d\)

위의 식을 함수 형태가 되도록 \(y\)에 대하여 정리하여 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle y=\frac{1}{a^2b}\left(x-d\right)^2-\frac{c}{b}\)

유리함수에 비해서 일반꼴의 역함수가, 외울 필요는 없지만, 상대적으로 복잡해 보입니다.

한편, 결과 수식으로부터 제곱근_함수의 역함수는 이차함수 형식임을 알 수 있습니다. 

그러나, 이차함수 전체가 제곱근_함수의 역함수는 될 수가 없는데, 왜냐하면 역함수가 존재하려면 반드시 일대일 대응되어야 하는데, 이차함수는 일대일대응이 아니기 때문입니다.

이제 예제를 통해서 제곱근_함수의 역함수를 찾고, 그것을 그리는 방법에 대해 알아보겠습니다.

\(\quad\)\(y=-\sqrt{-2x+4}+3\)

위의 결과로부터 제곱근_함수의 꼭짓점의 좌표가 \((2,3)\)이므로, 역함수의 성질에 따라 \(y=x\)에 대칭인 \((3,2)\)가 이차함수의 꼭짓점입니다. 그러므로 역함수를 다음과 같이 놓을 수 있습니다.

\(\quad\)\(y=a(x-3)^2+2\)

또한, 제곱근_함수는 \((0,1)\)을 지나므로, 역함수인 이차함수는 \((1,0)\)을 지나야 합니다. 그러므로 \(a=-\frac{1}{2}\)입니다.

따라서 제곱근_함수의 역함수인 이차함수는 다음의 식입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\)

그러나, 이것은 정답이 아닙니다. 제곱근_함수에서는 정의역을 표시하지 않더라도 제곱근 안쪽이 음수가 되지 못하는 조건으로부터 정의역이 구해집니다. 그러나, 이차함수는 정의역이 실수 전체의 집합이기 때문에, 결코 역함수가 존재하지 않기 때문입니다. 따라서, 이차함수의 정의역을 반드시 표시해야 합니다.

제곱근_함수의 치역이 \(y\leq 3\)였으므로, 역함수인 이차함수의 정의역은 \(x\leq 3\)입니다.

따라서 제곱근_함수의 역함수인 이차함수는 다음과 같이 구해집니다:

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2 \) (단, \(x\leq 3\))

응용예제

응용예제1

두 함수 \(f(x)=(x-2)^2+3\;(x\ge 2), g(x)=\sqrt{x+k-5}+k\)가 오직 한 점에서만 만날 때, 상수 \(k\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

응용예제2

\(y=\sqrt{k(x-2)}-3\)와 \(y=-\sqrt{x}\)의 그래프가 만날 때, 음의 실수 \(k\)의 최솟값은 얼마일까요?

\(\quad\)다음 중 선택: \(\displaystyle -\frac{11}{2}\), \(-10\), \(\displaystyle -\frac{9}{2}\), \(-4\), \(\displaystyle -\frac{5}{2}\) 

응용예제3

세 실수 \(x,y,z\)에 대하여

\(\quad\)\(x+y+z+1=2(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z+1})\)

이 성립할 때, \(x^{11}-41y+72z^{12}\)의 값을 구하시오.

응용예제4

함수 \(f(x)=-1-2\sqrt{x-2}\;(2 \le x \le 38)\)의 그래프 위의 두 점 \(\mathrm{P}(a,b)\), \(\mathrm{Q}(c,d)\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{b+d}{c+d}\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M-m\)의 값을 구하시오.

응용예제5

제곱근 함수 \(f(x)=a\sqrt{bx+c}\)에 대하여 방정식 \((f \circ f)(x)=x\)의 모든 실근이 \(0,a,1\)이다. 
\(y=f(x)\)의 치역이 음이 아닌 실수라고 할 때, \(a\)를 구하시오. (단, \(0<a<1\), \(a, b,c\)는 상수)

응용예제6

상수 \(a, b,c\)에 대하여 함수 \(f(x)=\sqrt{ax+b}+c\)의 정의역을 \(X\), 치역을 \(Y\)라 할 때, \(X \cap Y =\{3\}\)이고, 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족한다.

\(\quad\)(ㄱ) 정의역이 실수 전체의 집합이고, \(f(x)\)의 역함수가 \(g(x)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(x \in X\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x)=f(x)\)이다.

\(\quad\)(ㄷ) \(g(6)=0\)

\(g(a)+g(b)+g(c)=p+q\sqrt{2}\)라고 할 때, \(p^2+q^2\)의 값은?

응용예제7

그림과 같이 두 곡선 \(y=2\sqrt{x}\), \(\displaystyle y=\frac{10n}{x}\)과 직선 \(y=1\)로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고, \(x\)-좌표와 \(y\)-좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 30이상 70이하가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합은?

응용예제8

함수 \(y=\sqrt{4-2x}+3\)의 역함수의 그래프와 직선 \(y=-x+k\)가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값은? [3점] [2020학년도 수능 나형 10번]

응용예제9

함수 \(y=\sqrt{x+3}\)의 그래프와 함수 \(y=\sqrt{1-x}+k\)의 그래프가 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하시오. [4점] [2019학년도 수능 나형 26번]