두 벡터의 위치 관계

이런 소단원이 필요한지 의문입니다!! 이런 것보다는 점 곱의 속성을 보다 중점적으로 다루는 것이 더 중요해 보입니다.

평면 또는 공간에서, 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2)\)에 대해, 두 벡터가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하면, 점 곱의 기하학적 정의로부터

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\, |\vec{b}|\cos \theta\;\;(0\le \theta \pi)\)

따라서, 두 위치벡터가 이루는 각도는

\(\quad\)\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\, |\vec{b}|}\)

이때, 숫자로 만들기 위해, 피타고라스 정리와 점 곱의 대수적 정의로부터 값을 구한 후에 대입할 수 있습니다.

\(\quad\)\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\(\quad\)\(|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2+b_2^2}\)

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2\)

이 식을 대입한 식을 공식처럼 기억할 이유는 전혀 없습니다!! 왜냐하면, 새로운 공식은 오히려 분수 형태이므로, 점 곱의 기하학적 정의를 통해서 숫자로 만든 후에 계산하는 것이 더 바람직해 보이기 때문입니다.

벡터의 수직과 평행

벡터의 수직과 평행 조건은 이미 알려져 있고, 단지 성분으로 표시된 벡터에 대해 식이 만들어지는 것을 보입니다.

영벡터가 아닌 두 벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2)\)에 대해,
i) 두 벡터가 수직이면

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b}=0=a_1b_1+a_2b_2\)
ii) 두 벡터가 평행이면

\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}|\, |\vec{b}| = \pm \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\)