정사영

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Main article: Orthographic projection

삼차원 공간에 있는 물체를 스크린에 비추었을 때, 생기는 모양은 당연히 이-차원 평면에 놓입니다. 이때, 빛을 스크린에 쏘는 방향에 따라 스크린에 비치는 물체의 모양이 달라집니다.

만약 빛이 스크린에 수직으로 쏘여질 때, 물체가 스크린에 맺히는 것은 직교 투영(한문으로 정사영)이라고 부릅니다.

물론 빛이 스크린과 평행하게 쏘여지면, 물체는 스크린에 그림자를 맺히게 하지 못합니다.

스크린에 평행이나 수직이 아니게 빛을 스크린에 쏘았을 때는 경사 투영이라고 말합니다.

이 단원의 이름이 정사영이다 보니, 빛이 스크린에 수직으로 쏘여질 때를 상상하는 경우가 많지만, 문제는 빛과 스크린이 수직이 아닌 경우가 더 많습니다. 따라서, 정사영이라는 용어에 현혹되어서는 안 됩니다!!

그림자의 길이

직교 투영에서, 그림자의 길이는 물체의 길이보다 항상 작습니다.

정오가 되어, 해가 지면과 수직으로 놓이면, 내 몸은 직교 투영에 의해, 머리와 어깨, 발가락 정도가 맺힙니다. 물론 배가 많이 나온 사람은 배가 그림자에 나타날 수 있습니다.

이때, 내 몸의 그림자를 가장 길게 만들려면, 지면(스크린)과 평행하게 놓이면 되는데, 지면에 누워버리면, 내 키만큼 그림자가 생깁니다.

물론, 정오가 아닐 때에는, 예를 들어, 해가 질 무렵에서, 지면에 서 있으면 그림자가 내 키보다 훨씬 커질 것입니다. 이 경우는 지면이 빛과 수직이 아니므로, 직교 투영이 아니고, 경사 투영입니다.

먼저, 그림에서 파란색 빛이 위에서 쏘여지고, 선분 \(\mathrm{AB}\)는 파란색 스크린에 선분 \(\mathrm{BC}\)로 그림자가 생기는데, 빛과 스크린은 수직이므로, 직교 투영, 즉 정사영입니다.

이때, 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 의해, 두 길이의 비값은 코사인 관계에 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)

보통 직교 투영의 길이 \(\mathrm{BC}\)는 원래 물체의 길이 \(\mathrm{AB}\)에 '''예각'''의 코사인이 곱해지므로 항상 작아집니다.

\(\quad\)\(\mathrm{BC}=\mathrm{AB} \cos \theta\cdots(1)\)

반면에 빛이 밑에서 쏘여지고, 선분 \(\mathrm{BC}\)는 빨간색 스크린에 선분 \(\mathrm{AB}\)로 그림자가 생기는데, 빛과 스크린이 수직이 아니므로, 경사 투영입니다.

어쨌든, 원래 길이 \(\mathrm{BC}\)와 그림자의 길이 \(\mathrm{AB}\)는 여전히 코사인 관계에 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{\mathrm{BC}}{\cos \theta}\cdots(2)\)

물론, 식 (2)는 잘 사용하지는 않고, 물체이든, 그림자이든, 큰 값에 코사인을 곱해서 작은 값으로 만드는 식 (1)을 대부분 이용합니다. 하지만, 주어진 각에 대해 두 변이 빗변과 인접변에 있을 경우에만, 코사인 관계에 놓이므로 주의를 요합니다!!

만약, 그림에서 \(\phi\)의 각을 이용할 때에는, 두 길이의 관계는 코사인이 아니라 사인 관계에 있음을 알 수 있습니다. 게다가 스크린을 적당히 접어서 어느 부분은 코사인 관계, 어느 부분은 사인 관계를 만들기 때문에, 항상 주의가 필요합니다!!

또한, 물체가 스크린에 붙어있지 않고, 적당히 떠 있는데, 그 경우에는 물체의 연장선이 만나는 점에서 각을 구하거나, 또는 물체를 평행이동해서 서로 만나는 점에서의 각도를 구해서 그림자의 길이를 구할 수 있습니다.

그림자의 넓이

넓이에 대한 이론은 #그림자의 길이에 대한 이론과 완전히 동일합니다. 단지 각도가 잘 보이지 않을 때에는 이면각을 구하는 연습이 필요할 뿐입니다.

그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 한 변 \(\mathrm{BC}\)가 평면 \(\alpha\) 위에 있으면, 평면 \(\alpha\)로의 정사영은 삼각형 \(\mathrm{OBC}\)이며, 직교 투영의 성질에 따라, \(\mathrm{AO} \perp \alpha\)입니다.

이때, 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)에 수선의 발을 내려서 \(\mathrm{H}\)라고 놓으면, 삼수선의 정리에 의해, \(\mathrm{BC} \perp \mathrm{OH}\)임을 알 수 있습니다.

그러므로, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 각도, 즉 이면각은 그림에서처럼 \(\theta\)입니다.

한편, 두 삼각형의 넓이는 밑변 \(\mathrm{BC}\)를 공통으로 가짐으로써, 높이에 의해 그의 비값이 결정됩니다.

따라서, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S\), 삼각형 \(\mathrm{OBC}\)의 넓이를 \(S_1\)이라고 하면, 다음 관계를 만족합니다.

\(\quad\)\(S_1=S \cos \theta\)

이 관계의 그림자의 길이에서 직교 투영, 즉 정사영에서 길이를 넓이로 바꾼 것과 같습니다.

여기서, \(\alpha\)와 평행한 평면(스크린) 위로의 정사영은 항상 같은 논리에 의해 같음을 알 수 있습니다. 또한, 그림자의 길이에서처럼, 직교 투영이 아닌 경사 투영에서는 물체의 넓이보다 그림자의 넓이가 더 커질 수 있음을 기억해야 합니다.

만약, 삼각형의 선분이 아닌 꼭짓점 중에 오직 하나만이 스크린 위에 놓일 때에는, 문제에서 주어진 정보로부터, 이면각을 구하는 과정이 좀 더 복잡해질 수 있습니다. 아마도 가장 어렵게 느껴지는 문제는 이런 종류의 문제들일 것입니다.

게다가, 도형이 직선으로 이루어지지 않을 때에는 도형 자체가 그림자에 의해 어떻게 만들어지는지, 예를 들어, 타원의 직교 투영은 원인 것 등을 알려주어야 문제를 풀 수 있습니다. 오히려 이런 경우는 문제가 더 쉬워질 수 있습니다.