공간벡터의 성분

직교 좌표 시스템의 특징에 따라, 정의 자체가 변하지는 않습니다. 단지 이-차원 평면에서는 두 개의 성분이 요구되고, 삼-차원 공간에서는 세 개의 성분이 요구될 뿐입니다.

위치벡터

위치벡터를 참조하십시오.

위치벡터를 참조하십시오.

벡터의 성분을 참조하십시오.

이-차원 평면에서, 추가적으로 \(z\)-축의 스칼라 성분이 더해집니다.

좌표공간에서 점\(A(a_1, a_2, a_3)\)의 위치벡터를 \(\vec{a}\)라고 하면

\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{\mathrm{OA}} & = \vec{a} \\
& = a_1 \vec{e_1}+a_2 \vec{e_2}+a_3 \vec{e_3} \\
& = (a_1, a_2, a_3) \\
\end{align}\)

여기서, \(\vec{e_3}=(0,0,1)\)로써, \(z\)-축 방향의 크기가 1인 단위벡터입니다.

그리고, 그의 크기는

\(\quad\)\(\begin{align}
\left|\vec{\mathrm{OA}}\right| & = |\vec{a}| \\
& = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\
\end{align}\)

또한, 두 공간벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)가 서로 같으려면, 각각의 구성성분이 서로 같아야 합니다.

\(\quad\)\(\vec{a}=\vec{b} \Longleftrightarrow a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3\)

벡터의 성분을 참조하십시오.

공간벡터와 평면벡터의 연산의 과정은 같으므로, 성분이 하나 추가되어 식이 쓰입니다.

예를 들어, 두 공간벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)에 대해,

두 벡터의 덧셈의 결과는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\)

두 벡터의 뺄셈의 결과는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)\)

또한, 실수 \(k\)에 대해, 벡터의 스칼라 실수배의 결과는 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)\)

한편, 시작점이 원점이 아닌 경우에서, 두 점 \(\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)\), \(\mathrm{B}(b_1,b_2,b_3)\)에 대해, 벡터 \(\vec{\mathrm{AB}}\)에 대한 성분 및 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AB}} = (b_1-a_1, b_2-a_2)\)

\(\quad\)\(\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)