등비수열의 극한

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Main article: Geometric progression

극한값의 계산에서, 분모와 분자가 다항식의 형태일 때, 그의 극한을 계산하는 것에 대해 알아보았습니다. 여기서는 등비수열의 형태일 때, 극한에 대해 알아보려 합니다. 등비수열의 기본 형태는 공비에 따라 극한이 결정되며, 초항이 영인 자명한 경우를 제외하고, 초항은 수렴/발산에 영향을 미치지 않습니다. 만약, 초항이 1이라고 생각하면, 아래와 같이 공비에 따라 수렴이 결정됩니다:

• \(|r| > 1\)이면, 예를 들어, \(2^n \to \infty\)이며, \((-2)^n \to \infty\) 또는 \(-\infty\)이므로, 발산합니다.
• \(r=1\)이면, \(1^n=1\)이므로, 1로 수렴합니다.
• \(r=-1\)이면, \((-1)^n \to 1\) 또는 \(-1\)이므로, 발산합니다.
• \(|r|<1\)이면, 예를 들어, \(\left(\frac12\right)^n \to 0\), \(\left(-\frac12\right)^n \to 0\) 이므로, 0으로 수렴합니다.

분모, 분자가 등비수열로 이루어지면, 위의 사실을 기본으로 극한을 결정할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ 3^n + 2\cdot 5^n}{2^n - 4\cdot 5^n}\)

위와 같은 극한을 결정하기 위해서, 분모 분자 중에 공비의 절댓값이 가장 큰 것으로 모든 항을 나누는데, 왜냐하면, 위에서 언급한 것처럼, 등비수열에서 공비의 절댓값이 1보다 작으면 0으로 수렴하기 때문입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \textstyle \frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n + 2\cdot 1}{ \left(\frac{2}{5}\right)^n - 4\cdot 1}= \displaystyle -\frac{1}{2}\)

이런 경우에도 무한대의 성질을 사용하여 분모 분자를 간단히 할 수 있습니다. 예를 들어, 분자에 대해, 공비가 큰 것으로 묶으면,

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(5^n + 3^n\right) = \lim_{n \to \infty} 5^n\cdot \left(1 + \left(\frac{3}{5}\right)^n\right)=\lim_{n \to \infty} 5^n\)

따라서, 분모와 분자에서 공비의 절댓값이 가장 큰 것만을 남기고 나머지 항은 무시해도 좋습니다. 

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ 3^n + 2\cdot 5^n}{2^n - 4\cdot 5^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{2\cdot 5^n}{-4\cdot 5^n}=-\frac{1}{2}\)

그럼 다항식과 공비가 같이 있을 때에는 어떻게 할까요? 이때에는 자명한 경우를 제외할 수 있습니다. 즉, 공비의 형태에 따라서 각 등비수열의 항은 간단히 할 수 있습니다. 그리고 공비의 절댓값이 1보다 큰 것과 다항식은 차수가 가장 큰 것만이 궁극적으로 남게 됩니다. 예를 들어,

\(\quad\)\(n^2 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, \cdots\)

\(\quad\)\(2^n : 2, 4, 8, 16, 32, 64, \cdots\)

이런 추세를 보면 처음에는 \(n^2\)이 크지만, 가면 갈수록 \(2^n\)이 상대적으로 커져 가기 때문에 궁극적으로는 \(n^2\)을 무시할 수 있습니다. 이것은 비록 공비가 1.000001과 같이 1보다 아주 조금 큰 경우일지라도 \(n \to \infty\)이므로 궁극적으로는 \(n^2\)을 무시할 수 있습니다. 그래프를 그려보면, 두 함수는 증가함수이고 두 함수가 서로 만난 후에 지수함수가 다항함수보다 더 빠르게 증가합니다.

예를 들어, 함수 \(\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n}+x^2}{x^{2n+2}+1}\)에 대하여

첫 번째, 등비수열의 공비 \(x^2\)의 절댓값이 1보다 작으면, 즉 \(-1<x<1\)이면, 극한값이 0으로 수렴하므로, \(f(x)=x^2\)입니다.

두 번째, 공비 \(x^2=1\), 즉 \(x=1, -1\)이면, 대입해서, \(f(\pm 1)=1\)입니다.

세 번째, \(x^2>1\), 즉, \(x<-1, x>1\)이면, 등비수열이 발산하므로, 다항 함수와 상수 항은 무시해서, \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)입니다.

등비수열의 수렴 조건

비록 수렴값은 다를 수 있을지라도, 등비수열 \(\{r^n\}\)이 수렴하기 위한 조건은 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(-1 < r \le 1\)

만약 초항이 존재하는 등비수열 \(\{a\cdot r^{n-1}\}\)이 수렴하는 조건은 직전의 경우에 곱해지는 문자가 영인 경우가 추가됩니다:

\(\quad\)\(a=0\) 또는 \(-1 < r \le 1\)

응용예제

응용예제1

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를

\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{(a-2)x^{2n+1}+2x}{3x^{2n}+1}\)

라 하자. \((f \circ f)(1) =\frac{5}{4}\)가 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 합은? [4점] [2021학년도 수능 가형 18번]