실수의 대소 관계

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Main article: Inequality (mathematics)

실수는 수직선에 일대일 대응이 되는 수입니다. 따라서 수직선 상의 수 \(a\)는 다음 3가지 중의 하나입니다.

\(\quad\)음의 실수, \(0\) , 양의 실수

따라서 두 실수 \(a,b\)의 차이인 \(a-b\)도 실수이므로 위의 3경우밖에 없습니다. 이를 표시하면 다음과 같습니다.

• \(a-b<0\Leftrightarrow a<b\)
• \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
• \(a-b>0\Leftrightarrow a>b\)

또한, 실수의 대소 관계는 실수의 연산과 호환되어 다음 성질들이 성립합니다.

• \(a<b\; \text{and}\; b<c \Rightarrow a<c\)
• \(a<b \Rightarrow a\pm c<b\pm c\)
• \(\displaystyle a<b,\;c>0 \Rightarrow ac<bc\;\text{or}\; \frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
• \(\displaystyle a<b,\;c<0 \Rightarrow ac>bc\;\text{or}\; \frac{a}{c}>\frac{b}{c} \)
• \(0<a<b,\;n>0 \Rightarrow a^n<b^n\)
• \(0<a<b,\;n<0 \Rightarrow a^n>b^n\)

마지막에 보이는 음의 지수배는 주로 \(n=-1\)인 역수에 대한 식으로 많이 소개됩니다.

\(\quad\)\(\displaystyle 0<a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)

고등학교에서는 주로 참, 거짓을 맞추는 문제로 출제가 됩니다. 그러므로 일반적인 성질을 기억할 때 주어진 조건을 정확히 기억할 필요가 있습니다. 만약 조건에 대한 결과가 명확하지 않을 때에는 조건을 몇 개의 경우로 나누어서 생각해 볼 수 있습니다.

예를 들어 부호가 정해지지 않은 경우에는 서로 부호가 달라지는 경우들을 우선적으로 고려해 볼 수 있습니다.

\(\quad\)\(a<b \Rightarrow\) 명제

• \(a<b<0\)
• \(a<0<b\)
• \(0<a<b\)

다른 예로는 부호가 결정되어 있을 때에는 크기에 따라 생각해 볼 수 있습니다. 어떤 숫자의 지수배는 1을 기준으로 2가지 모양으로 나누어지는데, 나중에 지수함수에서 다루어집니다.

\(\quad\)\(0<a<b \Rightarrow\) 명제

• \(0<a<b<1\)
• \(0<a<1<b\)
• \(1<a<b\)

기본예제

기본예제1

다음 두 실수의 대소 관계를 나타내어라.

\(\quad\)\(A=4\sqrt{3}-1,\quad B=3+2\sqrt{3}\)

해설1) 차이를 구해서 대소 관계를 알아봅니다.

\(\quad\)\(\begin{align}A-B
&=(4\sqrt{3}-1)-(3+2\sqrt{3})\\
&=2\sqrt{3}-4=\sqrt{12}-\sqrt{16}<0
\end{align}\)

\(\quad\)\(\therefore A<B\)

해설2) 해설1은 식이 복잡해지는 문제가 있습니다. 실수의 대소관계의 성질을 이용해서 식을 간단하게 하는 방법으로 접근해 보겠습니다. 

1. 숫자를 간단히 하기 위해 양쪽 변에 \(2\sqrt{3}\)을 빼고 1을 더합니다.

\(\quad\)\(A=2\sqrt{3}, B=4\)

2. 양쪽 변을 제곱합니다:

\(\quad\)\(A=12, B=16\)

그러므로 \(A<B\)입니다.

이런 접근은 식이 복잡해질수록 위력을 발휘합니다.

기본예제2

다음 두 실수의 대소 관계를 나타내어라.

\(\quad\)\(A=\sqrt{2}+2\sqrt{3},\quad B=3\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

1. 양쪽 변에서 \(\sqrt{2}\)을 뺍니다.

\(\quad\)\(A=2\sqrt{3}, B=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

2. 양쪽 변에서 \(\sqrt{3}\)을 뺍니다.

\(\quad\)\(A=\sqrt{3}, B=2\sqrt{2}\)

3. 양쪽 변을 제곱합니다.

\(\quad\)\(A=3, B=8\)

그러므로 \(A<B\)입니다.

기본예제3

다음 두 수의 대소 관계를 나타내어라.

\(\quad\)\(A=2^{30},\quad B=3^{20}\)

지수에 0.1을 곱합니다:

\(\quad\)\(A=2^3, B=3^2\)

그러므로 \(A<B\)입니다.