이차방정식의 실근의 부호

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차방정식의_실근의_부호

이차방정식에서 판별식을 통해 어떤 근을 가질 것인지를 알 수 있었습니다. 여기서는 근의 부호(양수인지, 음수인지)를 알 수 있는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이 문제를 이차방정식의 실근의 부호 문제라고 부릅니다.

이 문제를 이차방정식의 실근의 분리를 적용해서 풀어도 상관없습니다.

예를 들어 두 근이 모두 양수인 경우는 어떻게 알 수 있을까요?

우선은 판별식을 해야 합니다. 허수는 대소 관계의 정의가 없기 때문에 양수/음수의 개념 자체가 없습니다. 그러므로 반드시 실근이 나와야 하기 때문에 판별식 \(D \ge 0\)이어야 합니다.

이제 나온 두 실근이 모두 양수인 경우는 근의 합과 곱이 전부 양수인 경우입니다.

이를 정리하면 다음과 같습니다.

실계수 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하고, \(D=b^2-4ac\)일 때, 다음이 성립합니다.

조건	관계식
두 근이 모두 양수	\(D\geq 0,\;\alpha+\beta>0,\;\alpha\beta>0\)
두 근이 모두 음수	\(D\geq 0,\;\alpha+\beta<0,\;\alpha\beta>0\)
두 근이 서로 다른 부호	\(\alpha\beta<0\)

서로 다른 두 근이라는 표현이 있으면, 판별식에서 등호를 제거해야 합니다. 또한 일차항의 계수가 짝수인 경우에는 \(D/4=b^{'2}-ac\)를 이용해는 것이 좋습니다.

두 근의 합과 곱이 모두 양수라고해서 항상 실근을 갖는 것은 아닙니다. 예를 들어, \(\alpha=1+i,\;\beta=1-i\)라면, \(\alpha+\beta=2,\;\alpha\beta=2\)를 가집니다. 즉, 두 근의 합과 곱이 양수임에도 불구하고 두 허근을 갖는 경우도 있습니다.

서로 다른 부호인 경우

서로 다른 부호일 때에는 판별식을 하지 않는 것이 조금 다르게 느껴집니다. 그 이유는 서로 다른 부호이면, \(\alpha\beta=\frac{c}{a}<0\)이므로 \(a, c\)가 서로 다른 부호를 가집니다. 그러므로 \(ac<0\)이기 때문에 판별식 \(D=b^2-4ac>0\)이므로 항상 서로 다른 두 실근을 가집니다. 서로 다른 부호는 실근을 가질 때에만 발생하기 때문에 허근을 거르는 과정을 할 필요가 없습니다.

또한, 두 근의 합을 하지 않는 이유는 알 수 없기 때문입니다. 그러나 문제에서 양근의 절댓값이 음근의 절댓값보다 큰 경우처럼 조건을 주면, 두 근의 합 \(\alpha+\beta>0\)라는 조건을 넣어서 문제를 풀어야 합니다.

응용예제

응용예제1

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+2(k-1)|x|+k^2-3k-4=0\)이 서로 다른 네 실근을 갖는다고 할 때, 이를 만족시키는 실수 \(k\)의 값의 범위는?