접선의 방정식(이차곡선)

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접선의 방정식을 구하는 문제는 직선의 방정식을 구하는 문제와 동일하게 취급할 수 있습니다.

직선의 방정식은 주로 기울기 \(m\)과 지나는 한 점 \((x_1, y_1)\)에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(y-y_1=m(x-x_1)\)

이때, 기울기를 구하기 위해, 도함수를 배우기 전에는, 연립방정식의 중근의 개념을 많이 이용했지만, 도함수를 배운 후로는, 도함수로부터 기울기를 바로 구할 수 있습니다.

한편, 이차곡선은 암시적 함수 꼴을 가지고 있으므로, 암시적 함수의 미분법에 의해, 도함수를 구한 후에, 기울기를 구할 수 있습니다.

접점이 주어진 경우

평면 위의, 이차로 이루어진 관계식, 이차함수, 원, 원뿔곡선에 대한 접선을 구하기 위해, 만약 접점 \((x_1, y_1)\)이 주어지면, 

• 접점을 지나는 직선을 구하고, 이차 관계식과 연립방정식을 풀었을 때, 중근의 개념을 이용할 수 있습니다.
• 도함수를 구해서, 기울기를 구할 수 있습니다 (이때, 암시적 함수 미분법 등을 이용할 수 있습니다).

게다가, 이차항은 두 개의 같은 변수의 곱에서 한 변수에 접점의 값을 대입하고, 일차항은 두 개의 같은 변수의 평균의 개념에서 한 변수를 접점의 값을 대입하는 대수적 조작을 통해서 접선을 구할 수 있습니다. 객관식에서, 이것보다 빠른 방법이 없고, 외우기가 비교적 쉽기 때문에 학생들에게 알려주는 것이 좋겠습니다. 또한, 아래의 #극선의 방정식은 판별식을 이용하기에는 계산이 조금 까다롭습니다. 그러나, 이 방법은 극선의 방정식에 그대로 적용이 가능하기 때문에, 한 문제를 너무 쉽게 해결할 수 있습니다.

• \(x^2 \rightarrow x_1 x\)  
• \(y^2 \rightarrow y_1 y\)
• \(\displaystyle x \rightarrow \frac{x+x_1}{2}\)
• \(\displaystyle y \rightarrow \frac{y+y_1}{2}\)

예를 들어, 이차함수 \(y=x^2\) 위의 점 \((2,4)\)에서 접선의 방정식은 다음과 같이 바로 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{y+4}{2}=2x\)

또한, 원의 방정식 \(x^2+y^2=\sqrt{5}\) 위의 점, \((2,1)\)에서의 접선의 방정식은

\(\quad\)\(2x+1\cdot y = \sqrt{5}\)

기울기가 주어진 경우

기울기가 \(m\)으로 주어졌을 때, 이차곡선에 대한 접선의 방정식은 아래와 같습니다.

• 포물선 \(y^2=4px\ (p\neq0)\)에 대해, \(\displaystyle y=mx+\frac{p}{m}\ (m\neq0)\)
• 포물선 \(x^2=4py\ (p\neq0)\)에 대해, \(\displaystyle x=my+\frac{p}{m}\ (m\neq0)\)
• 타원 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)에 대해, \(y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\)
• 쌍곡선 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)에 대해, \(y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}\)
• 쌍곡선 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\)에 대해, \(y=mx\pm\sqrt{b^2-a^2m^2}\)

이 공식을 굳이 외울 필요는 없습니다. 도함수를 이용해서, 접선을 구하는 것이 생각보다 계산이 많지 않습니다.

곡선 밖의 점이 주어진 경우

곡선 밖의 점 \(P(p,q)\)에서 접선을 구할 때에는 접선의 방정식을 \(y-q=m(x-p)\)로 두고 이차곡선과 연립방정식의 근이 중근(판별식=0)을 갖는 방법으로 구할 수 있습니다. 그러나 대체적으로 계산식이 조금 복잡하기 때문에 실수할 가능성이 높습니다. 

다른 방법은 접점을 \((x_1,y_1)\)을 두면, 접점이 주어진 경우이므로 접선의 방정식을 특별한 계산 없이 구할 수 있습니다. 이 접선이 \(P(p,q)\)을 지나가므로 대입한 식과 이차곡선에 접점을 대입한 식을 연립방정식으로 풀어서 접점을 구할 수 있습니다. 이 방법이 계산이 비교적 쉽습니다.

서술형을 대비하는 경우에는 접점을 정하고, 기울기는 암시적 함수 미분을 한 식에 접점을 대입해서 구할 수 있습니다. 기울기와 접점으로 접선 방정식을 구할 수 있습니다. 이 접선이 \(P(p,q)\)을 지나가므로 접선의 방정식에 대입한 식과 이차곡선에 접점을 대입한 식을 연립방정식으로 풀어서 접점을 구할 수 있습니다.

극선의 방정식

극선의 방정식은 이차 곡선의 외부에서 2개의 접선을 그을 수 있을 때, 두 개의 접점을 지나는 직선을 극선의 방정식(pole-polar relation)이라고 합니다.

극선의 방정식은 위의 #접점이 주어진 경우와 마찬가지로 극선의 방정식을 만들 수 있지만, 접점 대신에 외부의 점의 좌표를 대입합니다.

예를 들어, 원의 방정식 \(x^2+y^2=4\) 위의 점 \((1,\sqrt{3})\)의 접선의 방정식은 \(1\cdot x+\sqrt{3}\cdot y=4\)입니다.

반면에 원 외부의 점 \((3,3)\)에서 그은 두 접선과 만나는 접점을 연결한 극선의 방정식은 \(3\cdot x+3 \cdot y=4\)입니다.

위와 마찬가지로, 포물선(이차함수), 타원, 쌍곡선, 원에 적용할 수 있습니다. 구체적인 극선(접선)의 공식 예제는 원의 접선의 방정식#접점이 주어진 경우에서 보실 수 있습니다.