함수의 연속

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See also: Continuous function

함수에서, 정의역에 원소가 선택되면 반드시 공역에 원소에 대응되는 값이 존재해야 하며, 그 값을 함숫값이라고 합니다.

또한, 함수의 극한에서 정의역의 어떤 점으로 접근할 때의 극한값에 대해 알아보았습니다.

여기서 새로운 경우가 생깁니다. 함수와 함수의 극한에서 동일한 함수를 사용했을 때, 어떤 점에서의 함숫값과 극한값이 같은 경우가 있고, 그렇지 않은 경우가 있습니다. 이에 대한 구별이 필요한데,

• 함숫값과 극한값이 동일하면, 그 점에서 연속이라고 합니다.
• 그 외의 경우는 그 점에서 연속이 아니다 또는 불연속이라고 합니다.

예를 들어, 실수의 집합 전체에서 정의된 함수 \(f(x)=x+1\)는 \(x=1\)에서 연속일까요? 구하는 과정은 단순하지만, 명확해야 합니다.

1. \(f(1)=2\): 함숫값이 존재합니다.
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=2\): 극한값이 존재합니다.
3. \(\displaystyle f(1)=\lim_{x \to 1} f(x)\): 함숫값과 극한값이 같습니다.

이 과정을 통해서 함수 \(f(x)=x+1\)는 \(x=1\)에서 연속임을 알 수 있습니다.

위의 과정은 순서가 있는 것처럼 보이지만, 순서에는 크게 신경쓰지 않아도 좋습니다. 어쨌든, 3번 식을 만족하면, ''그'' 점에서 연속이지만, 1, 2번 식을 구하지 않고 3번 식에서 바로 판단할 수도 있습니다. 그러나, 함수가 보다 복잡한 경우에는 한 번에 판단하는 것이 쉽지 않기 때문에, 구하기 쉬운 것을 먼저 구해서 연속 여부를 판단하는 것이 일반적입니다.

한편, 정의역에 따라 함수가 정의되는 조각마다-정의된 함수는 그 경계점에서 극한값을 구할 때, 좌극한과 우극한을 별도로 구하는 것이 일반적입니다. 그렇기 때문에, 보다 자세하게는 ''그'' 점, \(x=a\)에서 연속 여부를 판정할 때에는 다음과 같은 식을 이용하는 것이 좋습니다.

• \(\displaystyle f(a)=\lim_{x \to a+0} f(x) =\lim_{x \to a-0} f(x)\)

가장 구하기 쉬운 함숫값을 구하고, 좌극한이나 우극한 중에 하나를 구합니다. 만약 여기서

• 어떤 값이 존재하지 않으면, ''그'' 점에서 불연속입니다. 
• 비록 함숫값과 우극한이 존재하지만 같지 않으면, 불연속입니다.

만약 함숫값과 우극한이 같으면, 다음과 같이

• 좌극한이 존재하지 않으면, 그 점에서 불연속입니다.
• 좌극한이 존재하지만, 이전 값과 같지 않으면 불연속입니다.

즉, 함숫값, 우극한, 그리고 좌극한이 모두 존재하고 같을 경우에만, 그 점에서 연속이고, 그렇지 않으면, 그 점에서 불연속입니다.
예를 들어, \(x\neq 1\)인 실수에서 정의되는 함수 \(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)는 \(x=1\)에서 연속일까요?
이 질문은 자명하게 연속이 아닌, 즉, 불연속입니다. 왜냐하면, \(x=1\)은 정의역에서 제외된 원소이기 때문이며, 즉, 함숫값이 존재하지 않기 때문입니다. 
함수의 극한에서 다룬 것처럼, 이 함수는 \(x\neq 1\)이 아니기 때문에 \(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\)과 동일한 함수입니다. 단지 함수 \(h(x)=x+1\)과의 차이점은 \(h(1)=2\)로 정의되지만, \(g(1)\)은 정의되지 않는다는 점입니다. 이와 같은 불연속은 ''제거 가능한 불연속''이라고 불립니다. 왜냐하면, 정의역에서 빠진 \(x=1\)에 대한 함숫값을 \(g(1)=2\)로 정의하면, 불연속을 제거할 수 있기 때문입니다. 

\(\quad\)\(\displaystyle g(x)=\begin{cases}
\frac{x^2-1}{x-1} & x \neq 1\\
2 & x = 1
\end{cases}\)

다른 종류의 불연속은 불연속의 분류를 참고하십시오.

연속 함수

위에서의 연속은 ''그'' 점에서의 연속에 대한 내용입니다.

한편, 함수 \(f(x)=x+1\)은 임의의 실수 \(x=a\)에 대해서, ''그'' 점에서 연속입니다. 따라서 이런 함수는 ''연속 함수''라고 불립니다. 

그러나, 함수 자체의 연속성의 다른 정의가 있습니다. 때때로 함수가 그의 정의역의 모든 점에서 연속이면, 함수는 연속이라고 말합니다. 이런 관점에서는 \(x\neq 1\)인 실수에서 정의되는 함수 \(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)도 마찬가지로 연속 함수라고 말할 수 있습니다. 따라서 단어 ''연속''을 사용하는 것은 반드시 주의를 기울여야 하며, 단어의 의미가 의도하는 바를 문맥에서 명확히 해야 합니다.

가장 공통적이고 제한적인 정의는 만약 함수가 모든 실수에서 연속이면 함수가 연속이라는 것입니다. 이런 의미에서는 앞의 \(g(x)\)는 연속이 아니고, 그러나 모든 다항(polynomial) 함수는 연속이고, 사인(sine), 코사인(cosine), 그리고 지수 함수(exponential functions)도 연속입니다.

구간

함수가 실수 전체에 대해 연속인지를 확인하기 힘들거나, 또는 관심 있는 부분이 아닐 경우가 있을 수 있습니다. 이때에는 실수의 특정 부분 집합에서 연속인지 여부가 중요할 수도 있습니다. 그래서 실수의 특정 부분 집합을 다음과 같이 표시합니다.

\(\quad\)\( \begin{align}
(a,b) = \mathopen{]}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\mathbb R \mid a<x<b\}, \\{}
[a,b) = \mathopen{[}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\mathbb R \mid a\le x<b\}, \\{}
(a,b] = \mathopen{]}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\mathbb R \mid a<x\le b\}, \\{}
[a,b] = \mathopen{[}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\mathbb R \mid a\le x\le b\}.
\end{align} \)

주목할 것은 \((a, a)\), \([a, a)\), 및 \((a, a]\) 각각은 공집합이고, 반면에 \([a, a]\)는 집합 \(\{a\}\)를 나타낸다는 점입니다.  만약 \(a > b\)이면, 위의 네 가지 표기법은 보통 모두 공집합을 나타냅니다.

함수 \(i(x)=\sqrt{x}\)는 실수 전체에서는 연속이 아니지만, 구간 (1,3)에서는 연속입니다. 이를 경우에 함수 \(i(x)\)는 ''이 구간에서'' 연속 또는 ''이 구간에서'' 연속함수라고 합니다.

응용예제

응용예제1

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

\(\quad\)\(\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}+ax^2}{x^n+1}\)

이 \(x=1\)에서 연속일 때, \((f \circ f)(k)= \frac{1}{16}\)을 만족시키는 양수 \(k\)의 값은?

응용예제2

양수 \(a\)에 대하여 두 원 \(C_1,\;C_2\)를

\(\quad\)\(C_1\;:\;(x-2)^2+(y-2)^2=4\)

\(\quad\)\(C_2\;:\;(x-a)^2+(y-2)^2=4\)

라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a=4\)일 때, 실수 \(m\)에 대하여, 직선 \(y=mx\)가 원 \(C_1\) 또는 \(C_2\)와 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(f(m)\)이라 하자. 함수 \(f(m)\)이 \(m=k\)에서 불연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

\(\quad\)(가) \(k\)의 값을 모두 구하시오.

\(\quad\)(나) \(\displaystyle \sum_{m=1}^{10} f(m)\)의 값을 구하시오.

(2) \(a=p\)일 때, 실수 \(m\)에 대하여, 직선 \(y=mx\)가 원 \(C_1\) 또는 \(C_2\)와 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(g(m)\)이라 하자. 함수 \(g(m)\)이 \(m=k\)에서 불연속이고, \(k\)의 최댓값은 \(\frac{1}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

\(\quad\)(가) 양수 \(p\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)(나) 함수 \(g(m)\)의 불연속점의 개수를 구하시오.

응용예제3

곡선 \(y=x^2+4\)와 직선 \(y=mx\)가 만나는 교점의 개수를 \(f(m)\)이라 하자. 이때 함수 \(g(m)\)에 대하여 \(f(m)g(m)\)이 모든 실수 \(m\)에 대하여 연속일 때 함수 \(f(m)\)과 \(g(1)\)을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, \(g(m)\)은 선행 계수가 1인 이차함수이다.)

응용예제4

함수

\(\quad\)\(f(x)=\left\{
\begin{align}
& x^3+(3k+2)x^2-6kx+3 & &(x < a\;\mbox{or}\;x>a+2) \\
& 2x^2+3 & & (a \le x \le a+2) \\
\end{align}
\right.\)

가 모든 실수 \(x\)에서 연속일 때, 두 상수 \(a,k\)에 대하여 \(2a+3k\)의 값은?