포물선의 평행이동

포물선의 방정식은 이차함수의 꼴을 포함하고 있고, 어쨌든, 그래프의 평행이동은 이차함수에서와 완전히 동일합니다.

먼저, \(x^2=4py\;(p\neq 0)\)인 포물선의 방정식을 \(x\)-축으로 \(m\)만큼 \(y\)-축으로 \(n\)만큼 평행이동한 방정식은

\(\quad\)\((x-m)^2=4p(y-n)\cdots(1)\)

또한, \(y^2=4px\;(p\neq 0)\)인 포물선의 방정식을 \(x\)-축으로 \(m\)만큼 \(y\)-축으로 \(n\)만큼 평행이동한 방정식은

\(\quad\)\((y-n)^2=4p(x-m)\cdots(2)\)

포물선의 방정식의 일반형

물론, 고등학교 교과서에서 다루는 포물선의 방정식이 일반적인 경우는 아닙니다. 포물선이 일반적인 모양이 되려면, 준선이 임의의 직선이 될 경우인데, 식이 조금 복잡하기 때문에, 대칭축이 \(x\)-축 또는 \(y\)-축에 평행한 직선을 다룹니다.

어쨌든, 대칭축이 \(x\)-축 또는 \(y\)-축에 평행한 직선이 준선인 제한적인 상황, 식 (1), (2)에서,

먼저, 식 (1)을 전개한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(x^2+Ax+By+C=0\;\;(B \neq 0)\)

다음으로, 식 (2)을 전개한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(y^2+Ax+By+C=0\;\;(A \neq 0)\)

두 도형의 위치 관계는 포물선과 직선에 대해 적용이 가능합니다.

포물선은 최고 차수가 2차이고, 직선은 1차이므로, 연립방정식은 이차 방정식입니다. 따라서, 이차방정식의 판별식에 의해 교점의 개수를 결정할 수 있습니다.