쌍곡선

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Main article: Hyperbola

타원은 두 초점으로부터 거리가 합이 일정한 평면 안의 곡선이었다면, 쌍곡선은 두 초점으로부터 거리의 차이가 일정한 평면 안의 곡선입니다.

타원은 닫힌 곡선의 형태이고, 포물선은 열린 곡선이지만 하나의 곡선으로 이루어진 반면에, 쌍곡선은 무한히 뻗어가는 활처럼 생긴 두 개의 곡선으로 이루어지며, 두 곡선은 서로 대칭입니다.

쌍곡선은, 타원 및 포물선과 마찬가지로 원뿔 곡선의 하나이며, 평면(plane)과 이중 원뿔(cone)의 교차점에 의해 형성됩니다.

쌍곡선의 두 초점을 지나는 직선을 주축(major axis)이라고 하며, 주축과 쌍곡선이 만나는 두 점을 쌍곡선의 꼭짓점이라고 하며, 주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라고 합니다.

타원에서와 마찬가지로, 쌍곡선의 두 초점은 임의의 직선 위에 놓일 수 있지만, 주축이 \(x\)-축, \(y\)-축과 평형한 제한적인 경우를 다룹니다.

쌍곡선의 방정식

두 초점 \(\mathrm{F,F'}\)의 좌표가 각각 \((c,0),(-c,0)\)이고, 두 초점 \(\mathrm{F,F'}\)으로부터 거리의 차이가 \(2a\;(c>a>0)\)인 타원의 방정식은 다음의 과정으로 구해집니다.

먼저, 쌍곡선 위의 임의의 점을 \(\mathrm {P}(x,y)\)라고 하면, 쌍곡선의 정의에 따라,

\(\quad\)\(\left|\overline{\mathrm{PF}}-\overline{\mathrm{PF'}}\right|=2a\)

이고, 각 거리를 쓰면,

\(\quad\)\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a\)

\(\quad\)\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)

이때, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(cx+a^2=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)

다시 한번, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

\(\quad\)\(\left(c^2-a^2\right)x^2-a^2y^2=a^2\left(c^2-a^2\right)\)

여기서, \(c^2-a^2=b^2\;(b>0)\)으로 놓고, 양쪽 변을 \(a^2b^2\)으로 나누면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;\;(c^2=a^2+b^2)\)

이 방정식을 쌍곡선의 표준형이라고 합니다.

여기서, 거리의 차이가 \(2a\)가 되는 이유는 \(x\)-축과 만나는 두 점을 \(\mathrm A_1(a,0)\), \(\mathrm A_2(-a,0)\)라고 두면,

\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{\mathrm{PF'}}-\overline{\mathrm{PF}} & = \overline{\mathrm{A_1F'}}-\overline{\mathrm{A_1F}} \\
& = \overline{\mathrm{A_2F}}+\overline{\mathrm{A_1A_2}} - \overline{\mathrm{A_1F}} \\
& = \overline{\mathrm{A_1F}}+\overline{\mathrm{A_1A_2}} - \overline{\mathrm{A_1F}} \\
& = 2a \\
\end{align}\)

한편, 타원과 용어는 다르지만, 쌍곡선과 \(x\)-축이 만나는 두 점 사이의 길이가 주축의 길이, \(2a\)이며, 그 점의 좌표는 쌍곡선의 방정식으로부터, \(y=0\)을 대입해서, \(x=\pm a\)로 구할 수 있습니다. 반면에, 타원과 다르게 위의 쌍곡선은 \(y\)-축과 만나지 않는데, 왜냐하면 \(x=0\)을 대입하면, \(y\)는 허수이므로 \(y\)-축과 만나지 않습니다.

게다가, 쌍곡선은 두 초점 사이의 거리가 가장 길고, 초점을 나타내는 문자가 빗변이 되는 피타고라스 정리를 만족하지만, 타원과 다르게, 기하학적으로 확인할 수는 없습니다.

쌍곡선의 방정식의 특징을 간략히 살펴보면,

• 두 초점이 놓이는 직선이 주축이 되고,
• 중심으로부터 초점을 나타내는 문자의 길이가 가장 길고,
• 세 문자는 피타고라스 정리를 만족함을 알 수 있습니다.

주축이 바뀐 쌍곡선의 방정식

만약, 위의 경우와 달리, 두 초점이 \(y\)-축, 즉, \(\mathrm{F}(0,c)\), \(\mathrm{F'}(0,-c)\)에 놓이면, 이 경우에서, 주축의 길이를 \(2a\)로 두지 않고, \(2b\)로 두는데, 왜냐하면, 쌍곡선의 왼쪽 변의 방정식을 하나로 만들기 위함입니다.

이제, 쌍곡선 위의 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)에 대해, 쌍곡선에 정의에 따라,

\(\quad\)\(\left|\overline{\mathrm{PF'}}-\overline{\mathrm{PF}}\right|=2b\)

이 식을 위와 같은 방법으로 정리하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\;\;(c^2=a^2+b^2)\)

주축의 위치에 상관없이, 초점을 나타내는 문자가 가장 길기 때문에, 타원과 다르게, 항상 빗변을 나타내는 문자가 일정함에 주목할 필요가 있습니다.