독립시행의 확률

조건부확률에서, 두 사건 \(A,B\)가 영향을 미치지 않는 경우에 대해, 두 사건은 독립적이라고 합니다.

주사위를 여러 번 던지면, 각 사건은 모두 독립적이고, 각 실험의 결과는 다른 실험의 결과에 아무런 영향을 미치지 않습니다. 즉 실험의 결과가 각각 독립인 실험을 독립실험이라고 합니다.

예를 들어, 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 3의 배수의 눈이 1번 나올 확률은?

공정한 주사위를 던져서 3의 눈이 나오는 사건의 확률은 \(\frac13\)이고 3의 눈이 나오지 않는 사건은 3의 눈이 나오는 사건의 여사건이므로 그의 확률은 \(\frac23\)입니다.

또한, 3회의 걸친 실험에서 1번이 3의 배수가 나온다는 것은 나머지 2번은 3의 배수가 나오지 않는다는 것을 의미합니다. 이 경우에 대해, 그의 확률을 테이블로 나타내면 다음과 같습니다.

한편, 각 사건은 배반사건이고 각 사건의 확률은 같으므로, 확률의 덧셈정리에 의해, 구하려는 확률

\(\quad\)\(\displaystyle P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2\).

여기서, 숫자 3은 3회 중에 1번의 3의 배수가 나오는 경우의 수이므로, 일반화해서, \({_3}C_1\)로 쓸 수 있습니다.

일반적으로, 한 번 실험에서 사건 \(A\)가 발생할 확률을 \(p\)라 할 때, 이 실험을 \(n\)회 반복한 독립실험에서 사건 \(A\)가 \(r\)회 일어날 확률은

\(\quad\)\({_n}C_r p^r q^{n-r}\) (단, \(r\)은 0에서 \(n\)까지의 정수, \(p+q=1\))

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