아폴로니우스의 정리

원문 정리: https://dawoum.duckdns.org/wiki/아폴로니우스의_정리

See also: Apollonius's theorem

아폴로니우스의 정리(Apollonius's theorem)는 기하학에서 삼각형의 각 변들 사이의 관계 중 하나를 나타낸 식으로써, 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니우스의 이름을 따서 지어졌습니다. 이 정리는 스튜어트의 정리에서 나뉘는 변의 길이가 같을 때 발생합니다.

대한민국과 일본 등에서, 파푸스의 중선 정리라는 이름으로 잘못 알려져 있으며, 이외의 국가에서는 이 기사의 제목처럼 아폴로니우스의 정리로 불립니다.

간혹 중선정리라고 불리우기도 하지만 불분명한 명칭으로 여져지고, 아폴로니우스의 중선정리는 받아들여질만한 명칭입니다. 대한민국의 수학 명칭 중에 일부는 원래 만들어진 곳에서 불리는 명칭이 아니라, 정리 등의 특징을 고려해서 새롭게 만들어진 용어들이 꽤 있습니다. 한편, 대한민국의 수학 교재들이 한글로 쓰인 것이 많은 것은 아니기 때문에, (더구나 고급 수학 분야는 한글로 된 교재가 아주 드물어서), 외국어로 된 교재를 봐야 할 것으로 보입니다. 이때, 기존의 용어들과 다른 용어들이 어색해 보일 수 있기 때문에 수학 용어를 새롭게 정립할 필요를 느낍니다. 누가 하나요?

\(\triangle \mathrm{ABC}\)의 꼭짓점 \(\mathrm A\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm M\)에 선분을 연결하였을 때, 선분 \(\mathrm{AM}\)을 중선(Median)이라고 부르며 다음의 관계식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)}\)

특히, \(\mathrm{AB = AC}\)가 성립할 경우에 피타고라스의 정리를 만족합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AM^2 + BM^2 = AB^2 (= AC^2)}\)

이 정리는 스튜어트의 정리에서 \(\mathrm{BM = CM}\)를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있습니다.

증명1

꼭짓점 \(\mathrm A\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라고 하면, 피타고라스 정리에 의해 다음식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB^2=AH^2+BH^2}\)

\(\quad\)\(\mathrm{AC^2=AH^2+CH^2}\)

선분 \(\mathrm{AH, BH, CH}\)를 선분 \(\mathrm{AM, BM, CM}\)을 이용해서 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB^2=AM^2-HM^2+(BM+HM)^2}\)

\(\quad\)\(\mathrm{AC^2=AM^2-HM^2+(CM-HM)^2}\)

여기서 \(\mathrm{CM=BM}\)이므로 변변 더해주면 다음과 같은 ''중선 정리''식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(\therefore \mathrm{AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\)

증명2

오른쪽 그림과 같이 중점 \(\mathrm{M}\)을 원점으로 하고, 꼭짓점 \(\mathrm{A,B,C}\)의 좌표를 그림과 같이 주어졌을 때에 다음 식을 만족합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&\mathrm{AB^2 + AC^2} \\
&=\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+ \left\{(a-c)^2+b^2\right\} \\
&=2(a^2+b^2+c^2)
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
&\mathrm{AM^2 + BM^2} \\
&=(a+b)^2+c^2
\end{align}\)

\(\quad\)∴ \(\mathrm{AB^2 + AC^2=2(AM^2 + BM^2)}\)

응용예제

응용예제1

\(\mathrm{AB}=2\sqrt{3}\), \(\mathrm{BC}=2\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, \(\mathrm{AD}=\sqrt{7}\)이다. 각 \(\mathrm{ACB}\)의 이등분선이 선분 \(\mathrm{AB}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{E}\), 선분 \(\mathrm{CE}\)와 선분 \(\mathrm{AD}\)가 만나는 점을 \(\mathrm{P}\), 각 \(\mathrm{APE}\)의 이등분선이 선분 \(\mathrm{AB}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{R}\), 선분 \(\mathrm{PR}\)의 연장선이 선분 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{PER}\)의 넓이를 \(\mathrm{S}_1\), 삼각형 \(\mathrm{PCQ}\)의 넓이를 \(\mathrm{S}_2\)라 할 때, \(\displaystyle \frac{\mathrm{S}_2}{\mathrm{S}_1}=a+b\sqrt{7}\)이다. 이때, \(ab\)의 값을 구하시오. (단, \(a,b\)는 유리수이다.)

응용예제2

두 점 \(\mathrm{A}(-4,0)\), \(\mathrm{B}(2,0)\)과 직선 \(3x-4y+38=0\) 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2\)의 최솟값은?