나머지정리

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Main article: Polynomial remainder theorem

다항식의 나눗셈에서 정의한 식의 특수한 경우에 대한 이야기입니다. 만약 나누는 식이 일차식이라면 나머지는 상수입니다. 이 나머지를 구할 때에, 나눗셈을 직접 하지 않고, 항등식의 성질을 이용해서 구하는 방법을 다항식의 나머지 정리(Polynomial remainder theorem)라고 합니다.

즉, 다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x-\alpha\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R\)이라 하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(f(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\)

위 식은 항등식이므로 \(x=\alpha\)를 대입하면, \(f(\alpha)=R\)이라는 결과를 얻을 수 있습니다. 즉, 나누는 식을 영으로 만드는 숫자를 대입하면, 나머지를, 나눗셈의 과정을 거치지 않고, 구할 수 있습니다.

만약 나누는 일차식이 \(ax+b\;(a\neq 0)\)이라고 하면, \(R=f\left(-\frac{b}{a}\right)\)로 구해집니다.

이 방법은 나누는 식이 일차식인 경우로 설명하지만, 나머지정리를 확장해서 나머지를 쉽게 구하는 방법은 이미 항등식의 예제에서 소개한 바가 있습니다. 즉, 나누는 식이 인수분해가 되면, 일차식의 곱으로 표현되므로, 나머지정리를 일차식인 인수의 개수만큼 이용할 수 있습니다.

나머지정리는 나머지에 중점을 두고, 몫은 다항식의 나눗셈 또는 조립제법 등을 통해서 구할 수 있습니다. 또는 나머지 부분을 왼쪽 변으로 옮기고, 왼쪽 변을 인수분해하는 것도 한 가지 방법입니다.

응용예제

응용예제1

\(x\)에 대한 다항식 \(f(x)=x^3-4x^2+2x+4\)를 다음 일차식으로 나눈 나머지를 구하여라.

(1) \(x-2\)

해설) 나머지정리에 따라 \(f(2)=2^3-4\cdot 2^2+2\cdot 2 +4=0\)입니다.

(2) \(x+2\)

해설) 나머지정리에 따라 \(f(-2)=(-2)^3-4\cdot (-2)^2+2\cdot (-2) +4=-24\)입니다.

(3) \(2x-4\)

해설) 이 경우도 (1)과 마찬가지로 \(f(2)=0\)이 정답입니다. 나누는 식이 실수배가 되어도 나머지는 변하지 않습니다.

응용예제2

\(x\)에 대한 \(f(x)=x^3+a x^2-3\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지가 5일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하여라.

해설1) 나머지정리에 따라 \(f(-1)=-1+a-3=5\)를 만족하므로, \(a=9\)입니다.

해설2) 간단한 문제는 해설1)과 같은 방법이 좋습니다. 그러나 복잡한 문제는 나눗셈 식을 적어서 사고하는 것이 좋습니다.

\(\quad\)\(f(x)=x^3+a x^2-3 = (x+1)Q(x)+5\)

위 식을 보면 몫 \(Q(x)\)는 바로 구할 수 없기 때문에 몫을 없앨 수 있는 \(x=-1\)을 대입하는 것이 당연한 절차입니다.

수학에서 모르는 부분이 있으면, 그것과 곱해진 부분을 \(0\)으로 만들어서 간단히 하는 방법이 자주 이용되는 방법입니다. 추후에 지수에서는 밑수를 모를 때, 지수를 0을 만들어서 값을 알 수 있도록 하는 방법도 이용합니다.

응용예제3

다항식 \(P(x)\)를 \(ax+b\;(a\neq 0)\)로 나누었을 때, 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R\)로 나타냅니다. 다항식 \(xP(x)\)를 \(\displaystyle \left( x+\frac{b}{a}\right)\)로 나누었을 때, 몫과 나머지를 앞에서 주어진 식으로 나타내시오.

응용예제4

삼차다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킵니다.

\(\quad\)(가) \(f(2) = 1\)

\(\quad\)(나) \(f(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 몫과 나머지는 같다.

\(f(x)\)를 \((x-2)^3\)으로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 놓습니다. \(R(0)=R(6)\)일 때, \(R(10)\)의 값을 구하시오.

응용예제5

다항식 \(x^{24}-1\)을 \((x-1)^2\)으로 나누었을 때의 나머지 \(R(x)\)라고 할 때, \(R(10)\)의 값은?

응용예제6

다항식 \(P(x)\)를 \(x+\frac{1}{2}\)로 나누었을 때, 몫을 \(Q(x)\)로, 나머지를 \(R\)로 나타냅니다. 다항식 \(xP(x)\)를 \(2x+1\)로 나누었을 때, 몫을 \(Q'(x)\)로 나태내고, 나머지를 \(R'\)으로 나타내면, \(Q'(2)+R'\)의 값은?

응용예제7

다항식 \(P(x)\)를 \(x^2+2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2x-3\)이고, \((x+2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지는 \(8x+9\)이다. \(P(x)\)를 \((x^2+2)(x+2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(1)\)의 값은?

응용예제8

\(x^2+x-1=0\)일 때, \(2x^4+x^3-4x^2+2x+2\)의 값을 구하여라. (단, \(x>0\))

응용예제9

\(18^{2018}\)을 17로 나눈 나머지를 \(r_1\)이라 하고, \(15^5\)을 17로 나눈 나머지를 \(r_2\)라 할 때, \(r_2-r_1\)의 값은?

응용예제10

\( 10^{20}+2\cdot 10^{17}+3 \cdot 10^{13}+2\cdot 10^6+1\)을  91로 나눈 나머지를 구하시오.

응용예제11

삼차다항식 \(f(x)\)를 \(2x-1\)로 나누었을 때, 몫은 \(Q(x)\), 나머지는 \(R\)이고, \(4Q(x)+1\)로 나누었을 때, 나머지는 \(g(x)\)입니다. \(g(x)\)를 \(x+2\)로 나눈 나머지가 \(aR+b\)일 때, 상수 \(a,b\)에 대하여, \(ab\)의 값을 구하여라.

응용예제12

삼차다항식 \(f(x)\)에 대해, 다음 조건을 만족시킵니다.

\(\quad\)(가) \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 음수입니다.

\(\quad\)(나) \(f(x)\)는 \(x-a\)로 나눈 나머지가 \(a^3\)이고, 이때 실수 \(a\)는 오직 1과 3뿐입니다.

\(\quad\)(다) \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 10입니다.

이 경우에서, \(f(5)\)는 얼마일까요?

응용예제13

다항식 \(f(x)=x^3+x^2+x+1\)에 대하여 \(f\left(x^8\right)\)를 \(f(x)\)로 나눌 때 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(Q(1)+R(2)\)의 값은?

응용예제14

\(x\)에 대한 다항식 \(x^{16}+2x^8-3\)을 \((x-1)^2\)으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

응용예제15

다항식 \(x^{10}+x^5+3\)을 \(x^2+x+1,\;x^2-x+1,\;(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)로 나눈 나머지를 각각 \(r_1(x),\;r_2(x),\;r_3(x)\)라 할 때, \(r_1(x)r_2(x)r_3(x)\)를 \((x-1)\)로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제16

다항식 \(f(x)\)를 \((x+1)^3\)으로 나누면 나머지가 \(x^2+1\)이고, \((x-2)^2\)으로 나누면 나머지가 \(2x+1\)입니다. \(f(x)\)를 \((x+1)^2(x-2)\)로 나누었을 때의 나머지를 \(ax^2+bx+c\)라고 할 때, 상수 \(a,b,c\)에 대하여 \(a+b+c\)의 값은?

응용예제17

자연수 \(n\)에 대하여 \(9^{n+1}\)을 \(3^n-1\)로 나눈 나머지를 \(R_n\)이라 할 때, \(R_1+R_2+R_3+\cdots+R_{30}\)의 값은?

응용예제18

다항식 \(f(x)\)가 다음 (가), (나), (다)를 모두 만족할 때, \(f(2)\)의 값을 구하면?

\(\quad\)(가) \(f(x)\)를 \(x-3\)으로 나누면 나머지가 7입니다.

\(\quad\)(나) \(f(x)\)를 \(x-1\)으로 나누면 나머지가 1입니다.

\(\quad\)(다) \(f(x)\)를 \((x-3)(x-1)\)로 나누면 몫과 나머지가 서로 같습니다.

응용예제19

사차항의 계수가 1인 사차식 \(P(x)\)가 다음 조건을 만족시킵니다.

\(\quad\)(가) \(P(-2) = -8,\;P(1) = 1 \)

\(\quad\)(나) 이차방정식 \(x^2+x+1\)의 한 허근 \(\omega\)에 대하여 \(P(\omega)=1,\;P(\overline\omega)=1\)입니다.

다항식 \(P(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

응용예제20

\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)라고 할 때, \(f(x)\)는 \((x-1)^2\)으로 나누어떨어지고, \(f(x^2-1)\)을 \(f(x)\)로 나누면, 나머지가 \(-8x+10\)입니다. 이때, \(f(2)\)의 값을 구하는 풀이과정과 정답을 쓰시오. (단, \(a,b,c\)는 상수입니다.)

응용예제21

다항식 \(f(x)\)를 \(x^2+1\)로 나눈 나머지가 \(3x+2\)입니다. \(\left\{f(x)\right\}^2\)을 \(x^2+1\)로 나눈 나머지를 \(ax+b\)라 할 때, \(a+b\)의 값은?

응용예제22

계수가 모든 실수인 이차 다항식 \(f(x)\)와 삼차 다항식 \(g(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

\(\quad\)(가) \(f(-1)=f(5)\)

\(\quad\)(나) \(f(x)\)는 완전제곱식으로 인수분해 됩니다.

\(\quad\)(다) \(g(x)\)를 \(f(x)\)로 나눈 몫은 나머지의 2배입니다.

\(g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지가 1일 때, \(g(x)\)를 \((x-2)^3\)으로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라고 놓습니다. \(R(3)=3,\;R(1)=1\)일 때, 방정식 \(R(x+2)=0\)의 한 근 \(\alpha\)에 대하여 \(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots+\alpha^{2018}\)의 값을 구하시오.

응용예제23

다항식 \(f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^9\)에 대하여 \(f(x^{10})\)을 \(f(x)\)로 나눈 나머지는?

응용예제24

다항식 \((x-1)^{10}\)을 이차식 \(x^2+x-2\)로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(0)\)의 값은?

응용예제25

다항식 \(x^{49}+x^{25}+x^9+x\)를 \(x^3-x\)로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제26

\(x\)에 관한 다항식 \(ax^3+bx^2+cx+d\)를 \(x^2-1\)로 나눈 나머지가 \(6x+2\)이고, \(x^2+1\)로 나눈 나머지가 \(2x+8\)일 때, 상수 \(a,b,c,d\)의 값을 구하여라.

응용예제27

다항식 \(f(x)\)를 \((x-1)^3\)으로 나눈 나머지는 \(x^2+x+1\)이고, \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지는 \(3x+2\)입니다. \(f(x)\)를 \((x-1)^2(x-2)\)로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제28

다항식 \(P(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)에 대하여 \(P(x^6)\)을 \(P(x)\)로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제29

계수가 정수인 사차다항식 \(f(x)\)를 \(x^2+1\)로 나눈 나머지는 \(2x-3\)이고, \(x^2-2\)로 나눈 나머지는 \(5x+3\)입니다.

이때, 다항식 \(f(x)\)를 \(x^4-x^2-2\)로 나눈 나머지를 구하여라.

응용예제30

자연수 \(n\)에 대하여 다음 등식

\(\quad\)\(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots + x^2+x+1)\)

이 항상 성립한다. 이때, 다항식 \(x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x+1\)을 \(x^4+x^3+x^2+x+1\)로 나눈 나머지를 구하시오.

응용예제31

실수 \(x,y,z\)가 다음을 만족시킬 때, \(x^5+y^5+z^5\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)\(x+y+z=5,\;x^2+y^2+z^2=15,\;xyz=-3\)

응용예제32

3이하의 자연수  \(n\)에 대하여 \(A_n\)을 다음과 같이 정의한다.

\(\quad\)(ㄱ) \(A_1=9+99+999\)

\(\quad\)(ㄴ) \(A_n=\) (세 수 9,99,999 중에서 서로 다른 \(n\)개를 택하여 곱한 수의 총합) (단, \(n\ge 2\))

이때, \(A_1+A_2+A_3-3\)을 100으로 나눈 나머지를 구하시오.

응용예제33

\(x^{10}\)을 \((x-1)^3\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(-1)\)의 값은?

응용예제 34

자연수 20180101을 99로 나눈 나머지는?

응용예제 35

다항식 \(P(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(P(x)\)를 \(x^2-1\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q_1(x)\)이고, 나머지는 \(x+a\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(P(x)\)를 \(x^3+1\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q_2(x)\)이고, 나머지는 \(3x^2+bx+1\)이다.

\(\quad\)(ㄷ) \(Q_2(1)=-1\)이다.

\(Q_1(x)\)를 \(x^2-x+1\)로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(2)\)의 값은?

응용예제36

\(x^{2200}+x^{220}+x^{20}+1\)을 \(x^9+x^6+x^3+1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

응용예제37

다항식 \(P(x)\)에 대하여 \(P(x)\)를 \((x+1)^3\)으로 나눈 나머지는 \(-x^2+3x-1\)이고, \(x^3-1\)로 나눈 나머지는 \(3x^2+10x+4\)이다.  \(P(x)\)를 \((x+1)^2(x^2+x+1)\)로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(-4)\)의 값을 구하여라.

응용예제38

최고차항의 계수가 1인 다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) 다항식 \(f(x)\)를 다항식 \(g(x)\)로 나눈 몫은 \(\left\{g(x)+x^2\right\}^3\)이고 나머지는 \(g(x)+x^2\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) 다항식 \(f(x)\)를 다항식 \(\left\{g(x)+x^2\right\}^2\)으로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 하면 \(R(1)=-2\)이다.

응용예제39

다항식 \(P(x)=x^{99}+x^{98}+x^{97}+\cdots+x+1\)을 다항식 \(x^2+x+1\)로 나누었을 때의 몫을 \(A(x)\)라 하자.

(1) \(A(x)\)를 \(x^2+x+1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

(2) \(A(x)\)를 \(x^2+x+1\)로 나누었을 때의 몫을 \(B(x)\)라 할 때, \(B(x)\)를 \(x^2-x+1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

응용예제40

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2-3kx+k^2-2k+1=0\)이 서로 다른 두 허근을 갖기 위한 정수 \(k\)의 최솟값을 \(m\)이라 하자. 이때 이차방정식 \(x^2-mx+m-3=0\)의 두 근을 \(\alpha,\;\beta\)라 하면 다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(f(\alpha)=3\beta\)

\(\quad\)(ㄴ) \(f(\beta)=3\alpha\)

\(f(x)\)를 이차식 \(x^2-mx+m-3\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 하자. \(R(x)\)를 \(x-\alpha\beta\)로 나눈 나머지를 구하시오.

응용예제41

최고차항의 계수가 4인 다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)다항식 \(f(x)\)를 다항식 \(g(x)+x^2\)으로 나눈 몫과 나머지는 모두 \(g(x)-x^2\)이다.

\(\quad\)다항식 \(f(x)\)를 \(x\)로 나누었을 때의 나머지와 \(x+1\)로 나누었을 때의 나머지는 같다.

이때, \(f(2)+g(3)\)의 값은? (단, \(f(x)\)는 \(g(x)\)보다 차수가 높다.)