다항함수의 미분법

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도함수#다항함수의 도함수에서, 다항함수의 기본이 되는 \(y=x^n\)의 도함수가 \(y'=nx^{n-1}\)임을 구했습니다.

만약 다항함수의 일반꼴,

\(\quad\)\(y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\)

의 도함수가 구해지기 위해서, 실수배(계수), 합(또는 차)를 처리해야 합니다.

실수배, 합, 차의 미분법

함수 \(y=f(x)\)가 미분가능할 때, 그의 실수배 \(y=cf(x)\)의 도함수는 그의 정의에 따라,

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & =\lim_{h \to 0} \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{c\left\{f(x+h)-f(x)\right\}}{h} \\
& =c\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& =cf'(x) \\
\end{align}\)

두 함수 \(y=f(x), y=g(x)\)가 미분가능할 때, 두 함수의 합 (또는 차) \(y=f(x)\pm g(x)\)의 도함수는, 그의 정의에 따라,

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & =\lim_{h \to 0} \frac{\left\{f(x+h)\pm g(x+h)\right\}-\left\{f(x)\pm g(x)\right\}}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{\left\{f(x+h) - f(x)\right\}\pm \left\{g(x+h) - g(x)\right\}}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{\left\{f(x+h) - f(x)\right\}}{h}\pm \lim_{h \to 0}\frac{\left\{g(x+h) - g(x)\right\}}{h} \\
& =f'(x) \pm g'(x) \\
\end{align}\)

따라서,

\(\quad\)\(y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\)

의 도함수는

\(\quad\)\(y'=n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+2a_2 x+a_1\).

곱의 미분법

위의 경우는 다항함수가 전개 후에, 동류항끼리 완전히 정리가 된 후에 적용할 수 있는 경우에 사용할 수 있습니다. 그러나, 곱으로 이루어진 다항함수를 전개하지 않고 미분하는 것이 도함수를 구하는 것에서 편의를 느낄 수 있습니다. 왜냐하면, 미분을 하면, 차수가 감소하기 때문에, 먼저 미분을 하고, 전개 후에, 정리하는 것이 대체적으로 더 편합니다. 

두 함수 \(y=f(x), y=g(x)\)가 미분가능할 때, 두 함수의 곱 \(y=f(x)g(x)\)의 도함수는, 그의 정의에 따라,

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{\left\{f(x+h) - f(x)\right\}g(x+h) +f(x)\left\{g(x+h) - g(x)\right\}}{h} \\
& =\lim_{h \to 0} \frac{\left\{f(x+h) - f(x)\right\}}{h} \lim_{h \to 0}g(x+h) + \lim_{h \to 0} f(x) \lim_{h \to 0}\frac{\left\{g(x+h) - g(x)\right\}}{h} \\
& =f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\
\end{align}\)

예를 들어, \(y=(3x^2-x)(2x+3)\)의 도함수는

\(\quad\)\(\begin{align}
y'& =(3x^2-x)'(2x+3)+(3x^2-x)(2x+3)' \\
& = (6x-1)(2x+3)+(3x^2-x)\cdot 2 \\
& = 18x^2+14x-3 \\
\end{align}\)

한편, 세 개 이상의 미분가능한 함수의 곱해진 함수에 대해서, 예를 들어, \(y=fgh\)의 도함수는

\(\quad\)\(\begin{align}
y' & = \left\{fgh\right\}' \\
& = \left\{fg\right\}'h+\left\{fg\right\}h' \\
& = \left\{f'g+fg'\right\}h+fgh' \\
& = f'gh+fg'h+fgh' \\
\end{align}\)

같은 논리로 \(n\)개의 미분가능한 함수의 곱으로 이루어진 함수의 도함수도 구할 수 있습니다.

한편, 위에서 곱해진 함수가 같은 함수라면, 즉, \(y=\left\{f(x)\right\}^2\)의 도함수는

\(\quad\)\(y'=2f(x)f'(x)\)

이고, \(y=\left\{f(x)\right\}^3\)의 도함수는

\(\quad\)\(y'=3\left\{f(x)\right\}^2f'(x)\)

이므로, 이 추론을 계속해서 적용하면, \(y=\left\{f(x)\right\}^n\)의 도함수는

\(\quad\)\(y'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)\)

극한과 미분

경우 1

극한에서 불확정 형식의 하나인 \(\frac00\)의 극한값을 계산할 수 있습니다.

예를 들어, \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^n+x-2}{x-1}\)의 극한값은?

먼저, 인수분해를 통해서 계산할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to 1} \frac{x^n+x-2}{x-1} & =\lim_{x \to 1} \frac{(x^n-1)+(x-1)}{x-1} \\
& = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)+(x-1)}{x-1} \\
& = n+1 \\
\end{align}\)

위의 예제에서, 고등학교 교과과정에서 다루지 않는 인수분해를 해야 하기 때문에, 다른 접근법이 필요합니다. 게다가, 인수분해가 잘 되지 않을 때에는 아래의 방법을 이용할 수 있습니다.

다음으로, 미분을 통해서 해결할 수 있는데, \(f(x)=x^n+x-2\)로 두면, \(f(1)=0\)이므로

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to 1} \frac{x^n+x-2}{x-1} & =\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \\
& = f'(1) \\
\end{align}\)

이때, \(f'(x)=nx^{n-1}+1\)이므로, \(f'(1)=n+1\)입니다.

한편, 미분으로 다룰 때에는 위와 같이 분자 전체를 하나의 함수로 두는 것이 항상 유효하고,, 그 때에는 접근하는 지점의 함숫값이 항상 영이 나옵니다.

예제에서, 분자를 함수로 다룰 때, \(g(x)=x^n+x\)로 두면, \(g(1)=2\)이고, 극한값은 \(g'(1)\)이 됨을 알 수 있습니다. 이와 같이 다루더라도, \(g'(x)=nx^{n-1}+1\)로써, 극한값 \(g'(1)=n+1\)로써 같은 값을 가집니다. 굳이 상수값을 포함하지 않도록 함수를 둘 필요는 없는데, 왜냐하면, 상수값은 미분하면 영이기 때문에, 함수에 포함 유무와 상관없이 미분한 결과는 같습니다.

마지막으로 \(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\)의 형태는 로피탈의 규칙을 사용하여 구할 수 있습니다. 물론 이 형태가 아니더라도 대수적 변환을 통해, 주어진 두 개의 형태로 만들 수 있으면, 로피탈의 규칙을 적용할 수 있습니다. 로피탈의 규칙 기사를 참조하십시요. 고등학교 교과과정에서는 다루어지지 않지만, 규칙이 간단하기 때문에, 객관식에서는 이것보다 빠른 방법이 없습니다. 이 예제보다 복잡한 경우에도 로피탈의 규칙은 항상 유효합니다. 

경우 2

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-b}{x-a}=c\) (\(a, b, c\)는 상수)이면, 

• 분모가 영으로 접근하기 때문에, 분자가 영으로 접근하지 않으면, 유한한 상수값으로 접근할 수 없습니다. 즉, 분자가 영으로 접근하지 않으면, 무조건 발산합니다. 따라서, \(f(a)=b\)입니다.
• 이제 구해야할 극한값이 \(\frac00\)의 불확정 형식이므로 위의 경우 1에 해당하고, 가장 간편한 로피탈의 규칙을 이용할 수 있습니다. 즉, \(f'(a)=c\)입니다. 고등학교 서술형에서, 로피탈의 규칙을 사용할 수 없기 때문에, 미분을 통해서 해결하는 방법은 알고 있어야 합니다.

응용예제

응용예제 1

두 다항함수 \(f(x),\;g(x)\)가

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+g(x)}{x}=3,\quad \lim_{x\to 0} \frac{f(x)+3}{xg(x)}=2\)

를 만족시킨다. 함수 \(h(x)=f(x)g(x)\)에 대하여 \(h'(0)\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 나형 17번]