삼각부등식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/삼각부등식

방정식은 무수히 많은 해를 가지는 경우도 있지만, 근본적으로 식을 만족하는 몇 개의 해를 구하는 것입니다. 예를 들어, \(x=-2, 3\).

반면에 부등식은 어떤 경계를 시작점으로 방향이 결정되고, 구간이나, 이상, 이하가 모두 해가 되는데, 방정식과 비교해서, 부등식도 몇 개의 해를 가지는 경우도 있지만, 근본적으로 무수히 많은 해를 갖는 구간을 구하는 것입니다. 예를 들어, \(-2 < x < 3\). 게다가, 부등식의 경계는 해당 식의 방정식의 해입니다. 이 예제가 만약, \((x+2)(x-3) < 0\)이었다면, \(x=-2, 3\)은 \((x+2)(x-3)=0\)의 해입니다.

삼각 부등식도 마찬가지로 삼각 방정식의 해를 구한 후, 방향을 결정하고, 정의역으로부터 동경이 가질 수 있는 구간을 구하는 과정으로 해를 결정합니다.

한편, 이차부등식은 식 자체를 이해해서 접근하는 방법도 있지만, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계처럼 그래프적으로 접근하는 것이 더 생각하기 편할 수 있습니다. 역시 삼각부등식도 단위 원에서 방정식을 푼 것처럼, 단위 원에서 부등식을 풀 것입니다.

기본 형태

문제: \(\displaystyle \sin x > -\frac{1}{2},\ (0\leq x < 2\pi)\)

해설: 삼각방정식 \(\sin x = -\frac{1}{2},\ (0\leq x < 2\pi)\)의 해가 \(x=\pi+\frac{\pi}{6}, \pi+\frac{5\pi}{6}\)임은 사인의 삼각방정식에서 확인이 가능합니다.

이로부터 부등식의 해는 다음의 과정으로 풀 수 있습니다. 

먼저 제 3사분면의 동경은 시계 방향으로 움직일 때, 부등식을 만족합니다. 다음으로, 제 4사분면의 동경은 반시계 방향으로 움직일 때, 부등식을 만족합니다. 그래서, 두 방향의 공통부분이 부등식을 만족하는 전체 범위입니다.

또한, 방정식과 마찬가지로 부등식의 해도 정의역의 시작점부터 적는 것이 일반적입니다. 따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle 0 \leq x < \frac{5\pi}{6},\; \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi\)

좀 더 간단히 방향을 결정하기 위해, 사인 함수는 제 1, 2사분면이 양수이므로, 부등식을 만족합니다. 따라서, 방정식을 만족하는 동경이 제 1,2사분면을 포함하도록 결정해야 합니다.

한편, 정의역 \(-\pi \le x < \pi\)로 바뀌면, 해는 다음과 같이 바뀝니다.

\(\quad\)\(\displaystyle -\pi \le  x < -\frac{5\pi}{6},\;-\frac{\pi}{6} < x < \pi\)

코사인 함수도 사인 함수와 같은 방법으로 부등식의 해를 찾을 수 있습니다. 그러나 탄젠트 함수는 분수함수이므로, 분모가 0이 되는 경우가 점근선이 되어, 사인이나 코사인 함수와는 부등식의 해를 구할 때, 조금 다릅니다. 아래를 참조하십시오!!

탄젠트 부등식

문제: \(\tan x > 1,\ (0\leq x < 2\pi)\)

해설: 탄젠트 부등식을 풀기 위해, 방정식을 먼저 풀어야 합니다.

삼각방정식 \(\tan x = 1\; (0\leq x < 2\pi)\)의 해는, 동경이 제 1,3사분면에 위치하면서, \(x\)-축과 \(45^{\circ}\)의 예각을 이룹니다. 

물론, 해를 찾을 때에는 정의역에 따라, 해를 찾아야 합니다. 정의역이 양의 방향(반시계)으로 한 바퀴 안이므로, 다음과 같이 2개의 해를 가집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4}\)

 

앞의 그림이 탄젠트 방정식의 해를 구하는 그림이고, 뒤의 그림이 탄젠트 부등식의 해를 구하는 그림입니다. 

부등식은, 다시 한번 강조하지만, 점근선을 건너가지는 못하는데, 그 부분은 코사인이 0의 값을 가지는 \(y\)-축의 동경입니다. 

그리고, 탄젠트가 1보다 커야 하므로, 탄젠트의 값이 음의 값을 가지는 제 2,4사분면으로 동경이 가서는 안됩니다.

따라서, 부등식의 해는

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2}\)

이차 삼각방정식

문제: \(\sin^2 x -2 \sin x - 3 < 0\;\; (0\leq x < 2\pi)\)

해설: 삼각 함수가 같은 것으로 맞추어졌기 때문에, \(\sin x =t \)로 치환하면, \(x\)의 정의역으로부터 \(-1 \le t \le 1\)로 구해지고, 식은 다음과 같이 바뀝니다.

\(\quad\)\(t^2-2t-3 < 0\)

\(\quad\)\((t+1)(t-3) < 0\)

여기서 \( -4 \le (t-3) \le -2\), 즉 항상 음수이므로, 이것으로 양쪽 변을 나누면 부등호의 방향의 바뀝니다.

\(\quad\)\(t+1 > 0\)

주어진 영역에서, \(t=-1\)을 제외하고 모두 만족합니다. 이것은 원래 식에서

\(\quad\)\(\sin x =t =-1\)

이므로, \( x=\frac{3\pi}{2}\)를 제외한 정의역의 모든 원소가 부등식을 만족합니다. 

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle 0 \le x < \frac{3\pi}{2},\; \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)

응용예제

응용예제1

함수 \(f(x)=x^2+4\sqrt{2}x \sin\theta+4(\sqrt{3}-1)\sin\theta+2\sqrt{3}\)에 대하여 \(f(t)<0\)를 만족하는 어떤 실수 \(t\)가 존재하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 \(\alpha<\theta<\beta\)라고 할 때, \(\beta-\alpha\)의 최댓값은? (단, \(0 \le x \le \pi\))

응용예제2

\(0 \le \theta \le 2\pi\)일 때, 다음 함수의 최솟값을 \(m\)이라 하자.

\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=x^2-\left|\sqrt{3}x-1\right| \times \cos \theta + \frac{\cos^2 \theta}{3}\)

\(m \ge \frac{1}{2}\)이기 위한 \(\theta\)의 범위로 알맞은 것은?

응용예제3

\(0 \le \theta < 2\pi\)일 때, \(x\)에 대한 이차방정식

\(\quad\)\(6x^2+(4\cos \theta)x+\sin\theta =0\)

이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 \(\theta\)의 값의 범위는 \(\alpha<\theta<\beta\)이다. \(3\alpha+\beta\)의 값은? [3점] [2019학년도 수능 가형 11번]