삼각함수의 합성

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/삼각함수의_합성

삼각함수의 그래프에서, 삼각함수의 기본 그래프에 대해 그의 특징을 알아보았습니다.

예를 들어, \(4\sin \theta + 3\cos \alpha\)와 같은 그래프는 정의역 \(\theta, \alpha\)가, 특별한 조건이 없다면, 서로 독립적으로 주어지기 때문에, 이전에 배웠던 방법에서 좀 더 간단히 하는 방법을 찾기가 힘듭니다.

반면에, \(4\sin \theta + 3\cos \theta\cdots(1)\)는, 이전과 다르게, 같은 각으로 이루어져 있으므로,

적어도 삼각함수 사이의 관계에서, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1\)의 식으로 서로 관계가 있음을 알 수 있고, 그 식을 이용해서 하나의 삼각함수로 만들 수 있습니다. 그러나, 이 식은 주어진 식보다 더 복잡해지기 때문에, 그렇게 접근하는 것이 바람직해 보이지는 않습니다.

한편, 삼각함수의 덧셈정리는 두 각의 합 또는 차이에 대한 삼각함수를 각각의 각에 대한 삼각함수의 연산으로 계산을 합니다. 예를 들어,

\(\quad\)\(\sin (\theta+\alpha)=\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha\cdots(2)\)

와 같은 식에서, 각 \(\alpha\)를 예각으로 포함하는 직각삼각형에 대해, 그의 인접변이 4이고, 대변이 3이면, 

\(\quad\)\(\displaystyle \sin \alpha= \frac{3}{5},\;\cos \alpha = \frac{4}{5}\)

이 값을 식 (2)에 대입하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \sin (\theta+\alpha)=\frac{4}{5}\sin \theta + \frac{3}{5} \cos \theta\cdots(3)\)

여기서, 식 (3)×5를 하면, 식 (1)과 같아지고, 그 결과는

\(\quad\)\(4\sin \theta + 3\cos \theta = 5 \sin (\theta+\alpha)\cdots(4)\)

물론, 좌변의 식은 유일하게 우변의 식으로 바뀌지는 않는데, 왜냐하면 삼각함수는 근본적으로 주기함수이기 때문입니다.

덧셈정리의 다른 식

\(\quad\)\(\cos (\theta-\beta)=\cos \theta \cos \beta + \sin \theta \sin \beta\cdots(5)\)

에서, 각 \(\beta\)를 예각으로 포함하는 직각삼각형에 대해, 그의 인접변이 3이고, 대변이 4이면, 

\(\quad\)\(\displaystyle \sin \beta= \frac{4}{5},\;\cos \beta = \frac{3}{5}\)

이 값을 식 (5)에 대입하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \cos (\theta-\beta)=\frac{3}{5} \cos \theta + \frac{4}{5} \sin \theta\cdots(6)\)

여기서, 식 (6)×5를 하면, 식 (1)과 같아지고, 그 결과는

\(\quad\)\(4\sin \theta + 3\cos \theta = 5 \cos (\theta-\beta)\cdots(7)\)

즉, 주어진 계수에 대해, 그 값을 인접변과 대변의 어디와 같게 만드는지에 따라, 다른 결과를 얻을 수 있습니다.

게다가, \(\alpha, \beta\)는 같은 삼각형에서 2개의 예각에 해당하므로, 삼각함수의 변환을 통해서, 하나의 결과로부터 다른 결과로 바꿀 수 있습니다.

즉, \(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\)이므로, \(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}-\beta\)를 식 (4)에 대입하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
5 \sin (\theta+\alpha) & = 5 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}-\beta\right) \\
& = 5\sin \left(\frac{\pi}{2}+(\theta-\beta)\right) \\
& = 5\cos (\theta-\beta) \\
\end{align}\)

변환 항등식에 의해 식 (7)과 같은 결과를 낳을 수 있습니다.

결국, 서로 다른 계수를 가진, 같은 각을 가진 사인과 코사인의 합 또는 차는 하나의 사인과 코사인의 항으로 만들 수 있고, 그 결과는 계수를 직각삼각형의 인접변과 대변에 위치시키는 것에 따라, 결정됩니다.

교과서에서, 합성의 결과로 주어지는 계수를 양수로 만드는 것은 좋은 방법은 아닌 것으로 보입니다.

가능한 각도가 생각하기 쉽거나, 또는 자주 사용하는 것을 이용하는 것이 바람직하기 때문에, 이 기사에서 처럼, 직각삼각형의 예각으로 접근하는 것이 바람직해 보입니다. 교과서에서 처럼, 합성의 결과의 계수를 양수로 만들려면, 음의 계수에 대해 필연적으로 둔각의 결과를 낳기 때문입니다. 

한편, 삼각함수의 합성에서, 결과를 사인 또는 코사인으로 바꿀 때, 예를 들어,

\(\quad\)\(4\sin \theta + 3\cos \alpha\)

을 사인으로 합성하고 싶을 때에는, \(\sin \theta\)와 곱해지는 숫자가 코사인의 형태로 바뀌어야 합니다. 따라서, 4, 3으로 구성되는 직각삼각형에서 4를 인접변으로, 3을 대변으로 선택해야 합니다.

반면에 코사인으로 합성하고 싶을 때에는, \(\sin \theta\)와 곱해지는 숫자가 사인의 형태로 바뀌어야 하므로, 4를 대변으로 3을 인접변으로 구성해야 합니다.

기본 예제

기본 예제1

우선, 이미 알고 있는 특수각을 포함하는 합성을 유도해 보겠습니다. 예를 들어, \(\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta\)는 그의 계수로부터, 인접변을 1, 대변을 \(\sqrt{3}\)으로 놓으면, 당연히 빗변은 2입니다. 

이때, 사인과 코사인은 1보다 작은 값이므로, 빗변을 밖으로 묶어내서 계산을 진행합니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\sin{x}-\sqrt{3}\cos{x} & = 2\left(\frac{1}{2}\sin{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}\right) \\
& = 2\left(\sin{x}\cos\frac{\pi}{3}-\cos{x}\sin\frac{\pi}{3}\right) \\
& = 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \\
\end{align}\)

반면에, 인접변을 \(\sqrt{3}\), 대변을 1로 놓으면, 

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\sin{x}-\sqrt{3}\cos{x} & = 2\left(\frac{1}{2}\sin{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}\right) \\
& = 2\left(\sin{x}\sin\frac{\pi}{6}-\cos{x}\cos\frac{\pi}{6}\right) \\
& = -2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \\
\end{align}\)

이 외에도, 변환을 통해서 다른 형태로 바꿀 수도 있습니다.

기본 예제2

특수각이 아닌 경우에 대해, 다음의 과정을 거칩니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
3\sin{x}-4\cos{x} & = 5\left(\frac{3}{5}\sin{x}-\frac{4}{5}\cos{x}\right) \\
& = 5\left(\sin{x}\cos\alpha-\cos{x}\sin\alpha\right) \\
& = 5\sin\left(x-\alpha\right),\ \left(\tan\alpha=\frac{4}{3}\right) \\
\end{align}\)

여기서는 \(\alpha\)를 포함하는 직각삼각형에서, 인접변이 4, 대변이 3입니다. 즉, \(\displaystyle \tan\alpha=\frac{4}{3}\)입니다.

이 문제에서처럼, 특수각이 아닌 경우에서, 예를 들어, 이 값이 최대가 되는 \(x = \theta\)에 대해, \(\tan\theta\)등을 구할 수 있습니다.

여기서 \(\displaystyle x-\alpha=\frac{\pi}{2}, \cdots\)이므로 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}+\alpha\)입니다.

따라서

\(\quad\)\(\displaystyle \tan\theta=\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha=-\frac{3}{4}\).

한편, 처음 식을 코사인으로 바꾸고 싶을 때에는 코사인과 곱해지는 값이 코사인으로 바뀌어야 합니다. 그리고 코사인이 부호가 양수여야만 합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\sin{x}-\sqrt{3}\cos{x} & = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}-\frac{1}{2}\sin{x}\right) \\
& = -2\left(\cos{x}\cos\frac{\pi}{6}-\sin{x}\sin\frac{\pi}{6}\right) \\
& = -2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \\
\end{align}\)

간혹 합성의 결과가 코사인이고 계수가 양수여야 한다는 조건이 주어지는 경우가 있습니다. 이때, 삼각함수의 변환에서, 다음 결과를 이용합니다.

\(\quad\)\(\cos(\pi \pm \theta) = -\cos \theta\)

따라서, 다음과 같이 바꿀 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
-2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) & = -2\cos\left(\pi+x+\frac{\pi}{6}-\pi\right) \\
& = 2\cos\left(x-\frac{5\pi}{6}\right) \\
\end{align}\)

또는

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
-2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) & = -2\cos\left(-\pi+x+\frac{\pi}{6}+\pi\right) \\
& = 2\cos\left(x+\frac{7\pi}{6}\right) \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

\(\theta\)에 대한 방정식 \(\sin\theta-2k\cos\theta=3\)가 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 \(m\)이라고 할 때, \(m^2\)의 값은?  \(\displaystyle \left(\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\right)\)

응용예제2

함수 \(\displaystyle y=\frac{\sin x +2}{\cos x -3}\)의 최댓값과 최솟값의 곱은? (단, \(0 \le x \le \pi\))