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위치벡터

원문 보기:  https://dawoum.duckdns.org/wiki/위치벡터 Main article: Position (geometry) 벡터의 뜻에서, 벡터는 크기와 방향을 가진, 예를 들어, 동쪽으로 80km/h 로 날아가는 비행기와 같은 것을 나타내지만, 측정하는 사람의 위치에 따라, 벡터는 조금 다르게 보일 수 있습니다. 비록 같은 비행기를 바라보더라도, 서울에서 바라본 비행기와 대전에서 바라본 비행기는 그 방향과 크기를 다르게 보이므로, 나타내는 방식도 달라져야 할 것입니다. 자유 벡터는 크기와 방향이 같으면 모두 같은 벡터로 여기지만, 고정된 시작점과 끝점을 갖는 벡터는 유일하게 하나만 정의되며, 이것을 경계 벡터 ( bound vector ) 또는 위치 벡터 ( located vector )라고 부릅니다. 고정된 원점 \(\mathrm{O}\)를 시작점으로 하고 고정된 점 \(\mathrm{A}\)를 끝점으로 하는 벡터는 \(\vec{\mathrm{OA}}\)로 표시할 수 있습니다.  만약 고정된 끝점이 점 \(\mathrm{B}\)로 바뀌면, \(\vec{\mathrm{OB}}\)로 나타낼 수 있습니다. 이와 같이 시작점 \(\mathrm{O}\)를 고정하면, 평면 위의 모든 점은 하나의 벡터와 일대일대응 관계를 가집니다. 이때, 고정된 점 \(\mathrm{O}\)를 시작점으로 하는 벡터 \(\vec{\mathrm{OA}}\)를 점 \(\mathrm{A}\)의 위치벡터라고 부를 수 있습니다. 두 점 \(\mathrm{A,B}\)에 대해, 그들의 위치벡터를 각각, \(\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a}\), \(\vec{\mathrm{OB}}=\vec{b}\)로 나타내면, 점 \(\mathrm{A}\)를 시작점으로 하고, 점 \(\mathrm{B}\)를 끝점으로 하는 벡터는 \(\vec{\mathrm{AB}}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \(\quad\)\(\vec{\mathrm{AB}}=...

로그부등식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/로그부등식

로그방정식에서 등호 대신에 부등호를 사용하면, 로그부등식이 됩니다.

로그부등식에서도 부등식 자체를 푼 해와 진수 조건과 밑수 조건의 교집합이 해입니다.

항이 2개인 로그부등식

밑이 같거나, 또는 밑이 같지 않더라도, 밑수 사이에 서로 지수배이면, 밑수를 같게 만들어서

  • \(a > 1\)이면 \(\log_{a}f(x) > \log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
  • \(0 < a < 1\)이면 \(\log_{a}f(x) > \log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x) < g(x)\)

항이 3개 이상인 로그부등식

일반적으로 로그부등식에 \(\left(\log_a x\right)^2\)과 같은 항이 존재하는 경우에서, \(\log_a x =t\)로 치환해서 부등식의 해를 구합니다. 

그런 다음, 원래 변수에 대해 부등식을 다시 한번 풀어줍니다.

이때, 위와 마찬가지로, 밑수에 따라 부등호의 방향이 바뀌니 주의할 필요가 있습니다.

지수에 로그가 포함된 로그부등식

보통 지수에 복잡한 식이 있으면, 방정식 또는 부등식 양쪽 변에 로그를 취해서, 지수를 곱의 형태로 만들어서 풉니다. 

이 경우에서, 지수에 로그를 포함할 때에 양쪽 변에 로그를 취하는데, 로그의 밑에 따라 부등호의 방향이 바뀌니 주의가 필요합니다. 즉,

\(\quad\)\(x^{\log_2 x} < 16 x\)

와 같은 경우에서, 지수를 곱으로 내리기 위해, 양쪽 변에 로그를 취하는데, 로그의 밑을 맞추기 위해, 밑수 2인 로그를 취할 것입니다. 이때, 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.

\(\quad\)\((\log_2 x)\cdot \log_2 x < \log_2 16x\)

반면에, 다음 로그부등식

\(\quad\)\(x^{\log_\frac{1}{2} x} < 16 x\)

으로 주어지면, 양쪽 변에 밑수 {{Sfrac|1|2}}의 로그를 취합니다. 이때, 부등호의 방향이 바뀝니다.

\(\quad\)\(\left(\log_\frac{1}{2} x\right)\cdot \log_\frac{1}{2} x > \log_\frac{1}{2} 16 x\)

응용예제

응용예제1

부등식

\(\quad\)\(\left(\log_{\frac{1}{2}} x^2\right)\left(\log_2 x^2\right) + 24 \log_2 |x| \ge n\)

이 다음 조건을 모두 만족시키도록 하는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)(ㄱ) 부등식을 만족시키는 양수 \(x\)의 최솟값, 최댓값은 모두 자연수이다.
\(\quad\)(ㄴ) 부등식을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는 26이다.

 

 

 

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