부등식의 영역 - 함수꼴

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/부등식의_영역_-_함수꼴

함수 형태로 주어지는 부등식의 영역은 다음과 같은 꼴입니다.

\(\quad\)\(y > f(x) \)

일반적으로 함수 \(y=f(x)\)는 부정방정식이며, 이 해집합을 좌표평면 위에 표시하면, 일차함수, 이차함수 등이 됩니다.

함수꼴로 주어지는 가장 간단한 부등식의 영역의 예제는 \(y>0\)를 좌표평면에 도시하는 것입니다.

이 영역을 표시하기 위해서는 \(y=0\)(\(x\)축)을 좌표평면 위에 도시를 합니다. 좌표평면이 \(x\)축에 의해 \(x\)축 아랫부분과 \(x\)축 윗부분으로 나누어집니다. 해당 영역의 참/거짓은 동일하기 때문에 한 점을 대입해서 참/거짓을 판명합니다. 예를 들어 (2,1)을 대입하면 부등식을 만족합니다. 그러므로 (2,1)을 포함하는 모든 영역을 빗금 칠해 줍니다.

대입하는 점을 선택할 때에는 방정식의 해집합에 속하지 않는 것을 선택해야 합니다. 방정식의 해집합은 경계선에 해당하기 때문입니다. 대입할 때에는 방정식에 대입해서는 안됩니다. 부등식의 영역은 부등식을 만족하는 영역을 도시하는 것이기 때문입니다.

이런 방법은 장점은 부등호의 방향에 신경쓸 필요가 없다는 점입니다.

여기서 다루려는 일차, 이차함수를 포함하는 모든 다항함수는 평면을 2개의 영역으로 나누기 때문에 1영역에만 색칠이 된다는 사실도 기억해 둘만 합니다.

일차함수

예를 들어 \(y<-x+1\)의 영역을 표시해 보겠습니다.

먼저 \(y=-x+1\)을 좌표평면에 도시합니다. 부등식에 등호가 없으므로 경계선 제외라고 표시를 합니다.

직선(경계선) 위에 있지 않는 (0,0)을 부등식에 대입해 보니 진리값이 참입니다. 원점 (0,0)을 포함하는 쪽에 빗금칠을 합니다.

원점이 경계선에 포함되지 않을 때에는 항상 이 점을 대입해서 진리값을 확인합니다. 왜냐하면 계산이 가장 간단하기 때문입니다.

보통 교재에 나오는 \(y\)가 작으면 직선의 아래라는 표현은 반드시 \(y\)의 부호가 +일 때에 사용해야 합니다. 일반꼴에서 주어지는 것처럼 부등식에 \(-y\)가 나타나면 변을 넘겨서 생각해야 하는 단점이 있습니다.

이차함수

예를 들어 \(y\geq x^2-x-2\)의 영역을 표시해 보겠습니다.

먼저 \(y=x^2-x-2\)을 좌표평면에 도시합니다. 부등식에 등호가 있으므로 경계선 포함이라고 표시를 합니다.

이차함수(경계선) 위에 있지 않는 (0,0)을 부등식에 대입해 보니 진리값이 참입니다. 원점 (0,0)을 포함하는 쪽에 빗금칠을 합니다.

응용예제

응용예제1

원 \(x^2+(y-2)^2=4\) 위의 임의의 점 \((x,y)\)에 대하여 부등식 \( y \ge ax^2\)을 만족하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값은?