유리식

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Main articles: Rational function and Algebraic fraction

유리수(rational number)는 몫(quotient) 또는 두 개의 정수(integer), 분자(numerator) \(p\)와 비-영 분모(denominator) \(q\)의 분수(fraction) \(p/q\)로 표현될 수 있는 숫자(number)입니다. q는 1과 같을 수 있으므로, 모든 각 정수는 유리수입니다.

이와 비슷한 식에 대해, 고등학교 교과서에서 유리식으로 표현하는, 유리 함수(rational function)는 유리 분수(rational fraction), 즉, 분자와 분모 둘 다가 다항식(polynomial) 임을 만족하는 대수적 분수(algebraic fraction)로 정의될 수 있는 임의의 함수(function)입니다. 다항식의 계수(coefficient)는 유리수(rational number)일 필요는 없으며, 실수, 복소수, 등을 사용할 수 있습니다; 예를 들어, 계수가 실수에서 취해지면, 우리는 실수에 걸쳐 유리 함수 및 유리 분수라고 말합니다. 게다가, 분모가 영인 경우는 식을 표현할 수 없으므로, 도메인은 분모가 영이 되는 것을 제외해야 합니다.

한편, 고등학교 교과서에서 사용하는 분수식은 분수 표현(식)으로 생각되지만, fractional expression과 같은 영어 표현은 없는 것으로 보입니다. 반면에, 위에서 언급한 대수적 분수(algebraic fraction)라는 용어가 보통의 산술적 분수에 대한 짝입니다. 따라서, 용어 분수식을 대신해서 대수적 분수, 또는 좀 더 비유적으로 분수꼴 등을 사용하는 것이 좋겠습니다.

유리식의 성질

유리수와 마찬가지로 유리식에서도 다음과 같은 성질이 있습니다. 유리식 \(\frac{A(x)}{B(x)}\; (B(x)\neq 0)\)에 대하여 0이 아닌 다항식 \(C(x)\)에 대하여 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{A(x)\times C(x)}{B(x)\times C(x)}\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{A(x)\div C(x)}{B(x)\div C(x)}\)

유리수에서의 약분처럼, 유리식의 분자와 분모를 인수분해한 후, 공통 인수를 약분할 수 있습니다. 이때, 분모에서 제거된 공통 인수로 인해, 도메인이 바뀌기 때문에, 반드시 이에 대한 부분을 추가적으로 나타내어야 합니다. 이때, 모든 공통 인수가 약분이 되고 나면 공통 인수가 없는 유리식을 만들어지며, 이것은 기약-유리식으로 불립니다.

유리식의 계산

덧셈과 뺄셈

유리수의 경우처럼 유리식의 덧셈과 뺄셈도 분모를 통분하여 같게 한 다음 분자끼리 계산해서 정리를 합니다. 이때에도, 분모와 분자를 각각 인수분해해서, 공통인수를 약분해서 기약-유리식으로 만들어야 합니다.

다항식 \(A,B,C,D\)에 대하여 다음이 성립합니다:

• \(\displaystyle \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}\) (단, \(C \pm 0\))
• \(\displaystyle \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}\) (단, \(C \pm 0\))
• \(\displaystyle \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A\cdot D+B \cdot C}{B\cdot D}\) (단, \(B\neq 0, D \neq 0\))
• \(\displaystyle \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A\cdot D-B \cdot C}{B\cdot D}\) (단, \(B\neq 0, D \neq 0\))

곱셈과 나눗셈

유리수의 경우처럼 유리식의 곱셈과 나눗셈을 다음과 같이 계산합니다.

다항식 \(A,B,C,D\)에 대하여 다음이 성립합니다:

• \(\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}\) (단, \(B\neq 0, D \neq 0\))
• \(\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} =  \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A\cdot D}{B\cdot C}\) (단, \(B\neq 0, D \neq 0\))

나눗셈의 경우 나누는 식을 역수로 바꾸고 곱셈으로 바꾸어서 계산할 수 있습니다.

번분수

용어 번분수는 의미 전달이 쉽지 않기 때문에, 이후로는 숫자에 대해 합성 분수, 또는 복잡한 분수, 유리식에 대해, 합성 유리식, 또는 복잡한 유리식으로 바꾸어서 사용할 것입니다.

합성 유리식은 유리식을 구성하는 분모 또는 분자에 유리식 자체가 포함되는 경우를 말합니다. 이때, 가능한 분자와 분모가 정리되어, 기본 형태의 유리식이 되도록 만드는 것이 목적입니다.

나눗셈의 경우를 분수로 쓰면 합성 유리식이 됩니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}\)

매번 이런 식으로 나눗셈 기호로 만들고, 역수와 곱셈으로 바꾸어서 계산하는 것은 좋은 방법이 아닙니다.

합성 유리식에서, 분모 또는 분자 자체에 유리식을 두지 않는 것이 목적이므로, 주어진 식의, 만약 있다면, 분자의 분모와 분모의 분모를 곱해서 분모를 없애는 방법이 월씬 좋습니다. 즉, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{\frac{A}{B}\times BD}{\frac{C}{D}\times BD}=\frac{AD}{BC}\)

이런 방법은 합성 유리식을 계산하기 위해서 이상한 주문을 외울 필요가 없는 것은 물론이고 변형된 형태도 쉽게 접근이 가능합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\frac{A}{B}}{C}=\frac{\frac{A}{B}\times B}{C\times B}=\frac{A}{BC}\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{A}{\frac{B}{C}}=\frac{A\times C}{\frac{B}{C}\times C}=\frac{AC}{B}\)

부분분수

간혹은 통분을 해서 계산을 하는 것이 시간을 더 소모하거나, 너무 많아서 계산이 불가능한 경우가 생깁니다. 이때, 오히려 주어진 식을 두 개의 유리식으로 변형해서 계산을 할 수 있는 경우가 생깁니다. 예를 들어 다음과 같은 경우입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}\)

주어진 식들을 각각 부분분수로 분해하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}\right)\)

중간이 대부분 없어지고, 아래의 두 개의 항만 남게 되므로, 통분해서 쉽게 계산할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}\right)\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\frac{100}{x(x+100)}\)

응용예제

응용예제1

\(\displaystyle \frac{3^4}{9^4-1}+\frac{3^8}{9^8-1}+\frac{3^{16}}{9^{16}-1}+\cdots+\frac{3^{128}}{9^{128}-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{9^{128}-1}\)일 때, 자연수 \(n\)의 값을 구하면?

응용예제2

\(a+b+c=0\)일 때, 다음 유리식의 값을 구하여라.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

응용예제3

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+2(abc+1)x+2a^2b^2c^2+2=0\)이 실근을 가질 때, 다음 유리식의 값은? (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 실수)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)