비례식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/비례식

See also: Fraction (mathematics), Ratio, and Rate (mathematics)

비례식(proportional expression)은 \(a,b\)의 비와 \(c,d\)의 비가 같은 경우, 두 비를 등호(=)를 이용하여 나타낸 수식을 이르는 말입니다. 즉, 다음과 같이 표현을 합니다.

\(\quad\)\(a:b = c:d\)

비례식의 내항과 외항

비례식의 기초가 되는 비에서 항을 분류하는 방법은 \(a\)와 \(b\)의 비 \(a:b\)에서 기호 : 를 기준으로 : 의 앞에 있는 항 \(a\)를 전항, 뒤에 있는 항 \(b\)를 후항이라고 부릅니다. 

한편, 비례식 \(a:b=c:d\)에서는 기호 = 을 기준으로 : 기호의 안쪽에 있는 두 항 \(b,c\)를 내항이라 부르고, : 기호의 바깥에 있는 두 항 \(a,d\)를 외항이라 부릅니다.

비례식의 성질

분수와 비례식의 관계

분수의 성질은
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}=\frac{3a}{3b}\) (여기서, \(a,b\)는 0이 아닌 실수)와 같이 분자와 분모의 비가 같으면, 그 분수의 값은 모두 같습니다.

이 성질은 비례식 \(a:b=2a:2b=3a:3b=4a:4b\)과 매우 밀접한 관계에 있습니다. 즉, 위의 성질로부터, 분수는 분자, 분모가 0이 아닐 때, 비로 나타낼 수 있음을 의미합니다.

비례식 \(a:b=c:d\)는 \(a:b=ma:mb=c:d\)로 볼 수 있습니다. (여기서 \(m\)은 비례상수이며, \(a,b,c,d\)는 0이 아닌 실수입니다.)

즉, 위의 비례식은 분수로 나타낼 수 있음을 의미합니다.
위의 비례식을 분수들로 나타내면 \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)이므로 \(ad=bc\) 인 등식이 만들어집니다.

이 등식이 의미하는 성질은 그 어떤 비례식도 내항의 곱과 외항의 곱은 항상 같다는 것입니다.

비례식을 분수식으로 만들 때, 분자와 분모의 순으로 만들던지 분모와 분자의 순으로 만들던지 상관은 없지만, 한번 순서를 정하면 같은 방식으로 반드시 표현해야 합니다. 앞의 비는 분자:분모, 뒤의 비는 분모:분자와 같이 순서를 바꾸어서는 비가 성립하지 않습니다.

몇가지 성질

비례식 \(a:b=c:d\), 즉 \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)가 성립하면 다음의 성질을 가집니다(여기서, 분모와 분자가 0이 되는 경우는 없어야 합니다).

• \(ad=bc\)
• \(\displaystyle\frac{a+ b}{b}=\frac{c+ d}{d}\)
• \(\displaystyle\frac{a- b}{b}=\frac{c- d}{d}\)
• \(\displaystyle\frac{a+ b}{a-b}=\frac{c+ d}{c-d}\)

가비의 리

비례식 \(a:b=c:d=e:f\), 즉 \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\)가 성립하면 다음이 성립합니다(여기서, 분모와 분자가 0이 되는 경우는 없어야 합니다).

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\frac{a+c+e}{b+d+f}\)

\(\quad\)\(\displaystyle =\frac{pa+qc+re}{pb+qd+rf}\)

이것은 비례의 합 정리를 한자를 이용해서 나타낸 것입니다.

증명

비례식에서의 증명은 비례식의 값을 \(k\)로 놓는 방법을 일반적으로 이용합니다.

즉, \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)로 놓으면 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(a=bk, c=dk\)

예를 들어 다음과 같이 증명됩니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a+ b}{b}=\frac{bk+ b}{b}=k+1\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{c+ d}{d}=\frac{dk+ d}{d}=k+1\)

\(\quad\)\(\displaystyle \therefore \frac{a+ b}{b}=\frac{c+ d}{d}\)

응용예제

응용예제1

정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 두 변 \(\mathrm{AB}\)와 \(\mathrm{AC}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점을 각각 \(\mathrm{P, Q}\)라고 놓습니다. 그림과 같이 점 \(\mathrm{R}\)는 반직선 \(\mathrm{PQ}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원과 만나는 점이고 \(\overline{\mathrm{PQ}}=x, \overline{\mathrm{QR}}=1\)입니다. 원의 반지름의 길이 \(\displaystyle r=\frac{a\sqrt{3}+b\sqrt{7}}{3}\)을 만족할 때, 자연수 \(a,b\)의 곱 \(ab\)의 값을 구하시오.

응용예제2

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\mathrm{AB},\mathrm{AC}\)의 중점을 각각 \(\mathrm{M, N}\)이라 하고, 반직선 \(\mathrm{MN}\)이 \(\triangle\mathrm{ABC}\)의 외접원과 만나는 점을 \(P\)라고 할 때, 선분 \(\mathrm{NP}\)의 길이를 구하여라.