오차방정식

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Main article: Quintic function 

오차 방정식이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 말합니다. \(x\)에 관한 오차 방정식의 일반적인 모양은

\(\quad\)\( ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 , \quad a \ne 0\)

와 같습니다. 여기서 계수 \(a,b,c,d,e\)는 실수만을 다루게 됩니다.

일반해가 존재하지 않기 때문에 인수분해 공식을 이용하거나 인수정리를 통해서 인수분해를 한 후에 해를 구합니다.

자기-상반 방정식

자기-상반 방정식으로 주어지는 오차 방정식은 차수가 홀수이므로 우선, 조립제법이나 인수정리로 \(x\pm k\)의 꼴과 사차방정식으로 차수를 낮출 수 있습니다. 새롭게 만들어지는 사차방정식도 자기-상반 방정식이 되므로, 사차방정식의 자기-상반 방정식에서 소개한 방법으로 해를 구할 수 있습니다.

다음과 같은 예제를 보겠습니다.

\(\quad\)\(ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0\)

이 식은 인수정리에 따라 \(x=-1\)의 해를 갖습니다. 몫에 해당하는 사차방정식은 조립제법으로 구하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(ax^4 + (-a+b)x^3 + (a-b+c)x^2 + (-a+b)x + a = 0\)

근과 계수의 관계

오차방정식 \(\textstyle ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex+ f=0 \)의 다섯 근을 \(\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon\)라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수는 다음의 관계가 성립합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon = -{ b \over a} \)

\(\quad\)\(\displaystyle \alpha\beta+  \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\beta\gamma+  \beta\delta+   \beta\epsilon+ \gamma\delta+   \gamma\epsilon+  \delta\epsilon = { c \over a} \)

\(\quad\)\(\displaystyle \alpha\beta\gamma+   \alpha\beta\delta+  \alpha\beta\epsilon +\alpha\gamma\delta  +\alpha\gamma\epsilon +\alpha\delta\epsilon + \beta\delta\epsilon +\beta\delta\gamma +\beta\gamma\epsilon+ \gamma\delta\epsilon = -{ d \over a} \)

\(\quad\)\(\displaystyle \alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\epsilon + \beta\gamma\delta\epsilon= { e \over a} \)

\(\quad\)\(\displaystyle \alpha\beta\gamma\delta\epsilon= -{ f \over a} \)