인수정리

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Main article: factor theorem

나눗셈에서 나머지를 구하기 위한 나머지정리를 적용했을 때, 나머지가 0이 되는 특수한 경우를 가리켜 인수정리라고 부릅니다.

즉, 다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x-\alpha\)로 나누었을 때, \(R=0\)이 나오는 경우에, 나누어떨어진다라고 얘기하고, \(x-\alpha\)를 다항식 \(f(x)\)의 인수라고 부릅니다. 물론 몫인 \(Q(x)\)도 인수의 조건을 만족합니다.

따라서 다항식의 나머지정리에 의해, 다항식 \(f(x)\)는 다음의 형태로 적을 수 있습니다:

\(\quad\)\(f(x)=(x-\alpha)Q(x)\)

이와 같은 성질을 인수정리라고 합니다.

이때, \(Q(x)\)가 상수이면, 인수라고 부르지 않고, 실수배라고 부릅니다.

기본예제

기본예제1

\(x\)에 대한 다항식 \(f(x)=x^3+kx^2+kx-2\)가 \(x-2\)로 나누어떨어지도록 상수 \(k\)의 값을 구하여라.

해설) 나누어떨어지는 경우이므로, 인수정리에 따라 \(f(2)=2^3+2^2k+2k-2=0\)을 만족합니다. 따라서 \(k=-1\)입니다.

기본예제2

\(x\)에 대한 다항식 \(f(x)=x^3+5x^2+ax-a\)가 \(x+1\)을 인수로 가질 때, 상수 \(a\)의 값을 구하여라.

해설) 인수정리에 따라 \(f(-1)=(-1)^3+5\cdot (-1)^2+a\cdot (-1)-a=0\)을 만족합니다. 따라서, \(a=2\)입니다.

응용예제

응용예제1

이차방정식 \(x^2+2x-1=0\)의 두 근을 \(\alpha,\;\beta\)라고 할 때, 이차함수 \(f(x)=x^2+px+q\)가 \(f(\alpha^3)=\alpha-1\), \(f(\beta^3) = \beta-1\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(p,q\)에 대하여, \(2p-q\)의 값은?

응용예제2

\(3749=2\times 11^3+9\times 11^2-2=a\times b\)로 표현될 때, 이를 만족하는 자연수 \(a,\;b\)에 대해 \(a+b\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 1보다 크다.)

응용예제3

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+x+1=0\)의 두 근 \(\alpha,\;\beta\)에 대하여 이차함수 \(f(x)=x^2+px+q\)가 \(f(\alpha^2)=-4\alpha\)와 \(f(\beta^2)=-4\beta\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(p,q\)에 대하여 \(p+q\)의 값은?

응용예제4

다항식 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여

\(\quad\)\((x-3)f(x+4)=(x+2)f(x)\)

를 만족할 때, \(f(x)\)를 \(x^2-5x+7\)로 나눈 나머지가 \(3x-5\)일 때, \(f(1)\)의 값은?

응용예제5

삼차 다항식 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle f(2)=\frac{2}{3}\),  \(\displaystyle f(3)=\frac{3}{4}\),  \(\displaystyle f(4)=\frac{4}{5}\)를 만족할 때, \(f(0)\)의 값은?

응용예제6

\(x\)에 대한 이차식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(x)\)를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

\(\quad\)(가) \(x^3+3x^2+4x+2\)를 \(f(x)\)로 나눈 나머지는 \(g(x)\)입니다.

\(\quad\)(나) \(x^3+3x^2+4x+2\)를 \(g(x)\)로 나눈 나머지는 \(f(x)-x^2-2x-3\)입니다.

응용예제7

삼차식 \(P(x)\)에 대하여 \(P(6)=8\), \(\displaystyle \frac{P(1)}{P(2)}=2\), \(\displaystyle \frac{P(2)}{P(3)}=\frac{3}{2}\), \(\displaystyle \frac{P(3)}{P(4)}=\frac{4}{3}\)일 때, 다항식 \(P(x)\)를 \(x-1\)로 나누었을 때의 나머지는?

응용예제8

삼차다항식 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킵니다.

\(\quad\)(가) \((x-1)f(x-2)=(x-5)f(x)\)

\(\quad\)(나) \(f(x)\)를 \(x^2-3x+1\)로 나눈 나머지는 \(2x-10\)입니다.

\(f(2)\)의 값은?

응용예제9

다항식 \(x^3+2x^2-5x+3\)을 다항식 \(P(x)\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2x-1\)이고, \(P(0)=-4\)입니다. \(P(3)\)의 값은? (단, \(P(x)\)의 모든 계수는 정수입니다.)

응용예제10

두 이차다항식 \(f(x)=x^2+x+1\), \(g(x)=ax^2+bx+2\)이 있습니다. 방정식 \(f(x)=0\)의 두 근 \(\alpha,\;\beta\)가 \(g(\alpha^2)=3\alpha\), \(g(\beta^2)=3\beta\)를 만족할 때, 상수 \(a,b\)의 값을 구하여라.

응용예제11

모든 항의 계수가 정수이고 \(n\)차 다항식 \(f(x)\)에 대하여 \(f(7)=213\)이고, 다음 조건을 만족시킵니다.

\(\quad\)(ㄱ) 4이하의 서로 다른 자연수 \(k_1,\;k_2\)에 대하여 \(n_{k_1}\neq n_{k_2}\)입니다.

\(\quad\)(ㄴ) 자연수 \(n_k\)는 7보다 작습니다. (단, \(k\)는 4이하의 자연수입니다)

\(\quad\)(ㄷ) \(f(n_k)=3\) (단, \(k\)는 4이하의 자연수입니다)

위 조건을 만족시키는 \(n\)의 최솟값을 \(a\)라 하고, \(n=a\)일 때, 다항식 \(f(x)\)의 상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 합을 \(b\)라 할 때, \(10a+b\)의 값을 구하면?

응용예제12

사차 다항식 \(f(x)\)는 \(f(2)=f(-2)=f(3)=-1\)이고, \(f(1)=f(-1)=1\)이 성립합니다. 이때, \(f(0)\)의 값은?

응용예제13

최고차항의 계수가 1인 다항식 \(f(x)\)가 다음 등식

\(\quad\)\((x+7)f(2x)=8xf(x+1)\)

을 만족시킬 때, \(f(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지를 구하시오.

응용예제14

사차다항식 \(f(x)\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=\frac{k}{k+1}\;\;(k=0,1,2,3,4)\)

일 때, \(f(5)\)의 값을 구하시오.

응용예제15

이차식 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{f(3)}{10}=\frac{f(2)}{15}=\frac{f(1)}{30}=\frac{1}{6}\)이 성립한다. 이때 \(f(x)\)를 \(x-5\)로 나누었을 때, 나머지 값은?

응용예제16

\(x\)에 대한 다항식 \(x(x-a)(x-b)-16\)이 \(x-c\)로 나누어떨어지도록 하는 세 정수 \(a,b,c\)의 모든 순서쌍 \((a,b,c)\)의 개수를 \(n\), \(a+b+c\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,m\)이라고 할 때, \(M+m\)의 값과 자연수 \(n\)의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, \(0<a<b\))

응용예제17

이차방정식 \(x^2+x+1=0\)의 두 근 \(\alpha,\;\beta\)에 대하여 이차 함수 \(f(x)=x^2+ax+b\)가 \(f(\alpha^2)+4\alpha=0\)와 \(f(\beta^2)+4\beta=0\)을 만족시킬 때, 두 상수 \(a,b\)에 대하여 \(a^2+b^2\)의 값은?