로그함수

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Main article: Logarithm

수학에서, 로그함수는 지수함수의 역함수(inverse function)입니다. 따라서, 지수함수 \(f(x)=a^x\)의 역함수, 로그함수는 다음과 같이 정의됩니다.

\(\quad\)\(f(x)=\log_a x\) (\(a>0, a \neq 1\))

로그함수는 크게 밑수가 1보다 클 때와 그렇지 않을 때로 그래프의 개형이 나눕니다. 그렇더라도, 몇 가지 특성은 같기 때문에, 다른 점이 어떤 것이 있는지 확인해 두는 것이 필요합니다. 또한, 로그함수의 역함수가 지수함수이기 때문에, 서로 사이의 특징을 연관시켜서 기억해 둘 필요가 있습니다.

• 정의역 : 양의 실수 전체의 집합
• 치역 : 실수 전체의 집합
• 축과의 교점 : \(\left(1, 0\right)\)을 지남.
• 점근선 : \(y\)축, \(x=0\)
• \(a>1\) : 위로 볼록 (\(\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2}\),  \(\ f''(x)\leq0\))
• \(0 < a < 1\) : 아래로 볼록 (\(\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}\),  \(\ f''(x)\geq0\))
• \(a>1\) : 증가함수 (\(x_1 < x_2\)이면, \(\ f(x_1) < f(x_2)\), \(\ f'(x)\geq 0\))
• \(0 < a < 1\) : 감소함수 (\(x_1 < x_2\)이면, \(\ f(x_1) < f(x_2)\), \(\ f'(x)\leq 0\))
• 밑이 역수관계 : \(x\)축 대칭

위의 기본 특징을 제외하고, 밑수의 크기에 따라, 대소관계가 결정되는 몇 가지 경우가 있습니다.

• \(1 < a < b\)일 때 : \(x > 1\)이면 \(\log_{b}x < \log_{a}x\), \(0 < x < 1\)이면 \(\log_{b}x > \log_{a}x\)
• \(0 < a < b < 1\)일 때 : \(x > 1\)이면 \(\log_{b}x < \log_{a}x\), \(0 < x < 1\)이면 \(\log_{b}x > \log_{a}x\)
• \(0 < a < 1 < b\)일 때 : \(x > 1\)이면 \(\log_{b}x > \log_{a}x\), \(0 < x < 1\)이면 \(\log_{b}x < \log_{a}x\)
• \(a > 1, m > n\)일 때 : \(\displaystyle \frac{\log_{a}m-1}{m} < \frac{\log_{a}n-1}{n}\)이 성립함.
• \(0 < a < 1, m > n\)일 때 : \(\displaystyle \frac{\log_{a}m-1}{m} > \frac{\log_{a}n-1}{n}\)이 성립함.

마지막 특징은 점\((1, 0)\)과 점\((m, \log_{a}m)\)의 기울기와 점\((1, 0)\)과 점\((n, \log_{a}n)\)의 기울기의 크기를 비교해서 판정할 수 있습니다.

로그함수 그래프를 이용한 대소 관계

지수함수 그리고 로그함수 등은 증가함수 또는 감소함수이므로, 다음과 같은 것으로 대소 관계를 판단할 수 있습니다.

• 함수의 증감을 이용 (밑이 같을 때)
• 밑이 다른 두 로그함수 그래프를 이용 (밑이 다를 때)
• 곡선의 오목성(또는 볼록성)을 이용
• 직선의 기울기를 이용
• 넓이 관계를 이용

서로 다른 함수

서로 같은 함수는 정의역과 공역이 같고, 그의 대응관계가 모두 같은 함수를 말합니다.

또한, 로그의 성질에서, 로그 자체의 여러 가지 항등식을 알아보았습니다.

어떤 로그함수에 대해, 로그의 성질을 적용하면, 같은 함수가 될 수도 있지만, 다른 함수가 될 수도 있습니다. 

예를 들어, \(y=\log_a x^2\)은 \(y=2\log_a x\)와 같은 함수가 아닙니다. 앞의 것은 0을 제외한 모든 실수를 정의역으로 갖지만, 뒤의 것은 오직 양의 실수를 정의역으로 가집니다.

이런 것들은 로그방정식, 로그부등식, 또는 해의 개수(교점의 개수)를 구할 때, 조심해야 할 부분입니다.

지수함수와 로그함수의 관계

지수함수 \(y=a^x\)의 역함수는 \(x=a^y\)이므로, 로그함수 \(y=\log_a x\)는 지수함수 \(y=a^x\)의 역함수입니다. 따라서, \(y=x\)에 관하여 서로 대칭입니다. 

만약 \(0 < a < 1\)이면 항상 한 점에서 만납니다.

만약 \(a > 1\)이면 \(a\)의 값에 따라 두 점에서 만나거나, 한 점, 즉 접하거나, 또는 만나지 않습니다. 보통 만나지 않는 그림을 소개하기 때문에, 항상 만나지 않는다고 오해해서는 안됩니다. (예를 들어 \(a=\sqrt{2}\)일 때 두 함수는 \((2,2)\)에서 만납니다.)

로그함수의 평행이동과 대칭이동

지수함수는 \(y\)-축의 방향으로 평행이동했을 때, 원래 지수함수의 점근선이 이동했습니다. 지수함수와 역함수 관계인 로그함수는 당연하게도 \(x\)-축의 방향으로 평행이동했을 때, 그의 점근선이 평행이동합니다. 

보통 로그함수의 점근선은 그의 진수로 표현된 식이 0이 되는 경우입니다. 예를 들어, \(y=\log (2x-4)\)의 점근선은

\(\quad\)\(2x-4=0 \Leftrightarrow x=2\).

한편, 대칭이동은, 위에서 언급한 것처럼, 로그의 밑이 곱셈에 대한 역수 관계이면, \(x\)-축 대칭입니다. 즉, \(y=\log_a x\)의 \(x\)-축 대칭이동한 그래프는

\(\quad\)\(-y=\log_a x \Leftrightarrow y=\log_\frac{1}{a} x\)

반면에, \(y=\log_a x\)의 \(y\)-축 대칭이동한 그래프는 \(y=\log_a (-x)\)입니다.

로그함수의 최대·최소

지수함수와 마찬가지로 로그함수는 증가함수 또는 감소함수입니다. 따라서, 정의역의 제한 없이는 최댓값과 최솟값을 가지지 않습니다. 

그렇지만, 정의역을 \(0< \alpha \le x \le \beta\)로 제한하면, \(x=\alpha,\;\beta\)에서 최댓값 또는 최솟값을 가지므로, 그래프의 개형을 그릴 필요 없이, 주어진 식 \(y=\log_a x\)에 대입해서 큰 값이 최댓값이며, 작은 값이 최솟값입니다.

만약, \(a>1\)이면, 최댓값 \(\log_a \beta\), 최솟값 \(\log_a \alpha\)를 가집니다.

반면에, \(0<a<1\)이면, 최댓값 \(\log_a \alpha\), 최솟값 \(\log_a \beta\)를 가집니다.

한편 \(y=\log_{a}f(x)\)와 같이 진수에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어지는 경우에서,

만약 \(a > 1\)이면, 증가함수이므로, 진수 부분이 가장 클 때 최댓값을 가지고, 진수 부분이 가장 작을 때 최솟값을 가집니다.

\(\quad\)\(f(x)\)의 최댓값(최솟값) \(\Leftrightarrow\) \(y\)의 최댓값(최솟값)

만약 \(0 < a < 1\)이면 감소함수이므로, 반대의 논리로,

\(\quad\)\(f(x)\)의 최댓값(최솟값) \(\Leftrightarrow\) \(y\)의 최솟값(최댓값)

공통부분을 가지는 다항식

• \(\log_{a}x=t\)로 치환하면, \((\log_{a}x)^2=t^2,\ \log_{a}x^2=2 t\)입니다.

로그함수와 산술/기하 평균사이의 관계

• 합이 일정하면 곱의 최댓값이 존재하고, 곱이 일정하면 합의 최솟값이 존재합니다.
• 로그함수에서 \(a > 1, b > 1\)이고 \(\log_{a}b, \log_{b}a\)꼴은 최댓값이나 최솟값을 산술/기하 평균을 우선적으로 생각해 봅니다.

지수가 복잡한 경우의 최대/최소

• 양변에 로그를 취해서 계산해 줍니다.

로그함수로의 접선

로그함수, \(y=\log_a x\)에 접하는 직선 중에서 가장 많이 쓰이는 것은 원점을 통과하는 접선입니다. 

먼저, 로그함수 위의 임의의 점 \(\left(p, \log_a p\right)\)와 원점 사이의 기울기는 그 점에서의 도함수와 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\log_a p}{p}=\frac{1}{p \ln a}\)

따라서, \(p=e\)이고, 접선은 \(\displaystyle y=\left(\frac{1}{e \ln a}\right) x\)입니다.

이런 특징을 이용한 문제는 아래의 #응용예제9에서 볼 수 있습니다. 주어진 구간이 \(1<p<q<e\)로 주어진 이유는 \(x=e\)를 지나면 오히려 기울기가 감소하기 때문입니다.

응용예제

응용예제1

두 함수 \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x,\; g(x)=\log_{\frac{1}{2}} x\)에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 고르세요.

\(\quad\)(가) \(a>1\)이면, \(f(a) < g(a)\)입니다.

\(\quad\)(나) 두 함수 \(f(x),g(x)\)의 그래프의 교점의 좌표가 \((\alpha, \beta)\)일 때, \(\alpha = \beta\)입니다.

\(\quad\)(다) 양수 \(a, b\)에 대하여, \(b < f(a)\)이면 \(2a < g\left(b^2\right)\)입니다.

응용예제2

두 직선 \(f(x)=\log_2\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\)와 \(g(x)=\frac{1}{2}\log_2(x+a)\)가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 \(a\)값의 범위는 \(p<a<q\)입니다. \(60pq\)의 값은?

응용예제3

함수 \(f(x)=-\log_3 (k-3x)+2\)의 그래프가 제4사분면을 지나지 않도록 하는 자연수 \(k\)의 최댓값은?

응용예제4

함수 \(y=\left|\log_2 x^2\right|\)의 그래프에 대하여 옳은 것을 전부 고르세오.

\(\quad\)ㄱ. \(y\)-축에 대하여 대칭입니다.

\(\quad\)ㄴ. \(y=\left|2\log_2 x\right|\)와 같은 그래프입니다.

\(\quad\)ㄷ. 양수 \(k\)에 대하여 방정식 \(\left|\log_2 x^2\right|=k\)의 서로 다른 실근의 개수는 4입니다.

응용예제5

좌표평면에서 자연수 \(n\)에 대하여 집합

\(\quad\)\(A=\left\{(x,y)|3^x-n \le y \le \log_2(x+n)+n,\;\;x,y \in \mathbb Z\right\}\)

의 원소의 개수를 \(a_n\)이라 놓습니다. 이때, \(a_3\)의 값은? (여기서, \(\mathbb Z\)는 정수의 집합입니다.)

응용예제6

곡선 \(y=\log_3 x\)와 기울기가 2인 직선 \(y=f(x)\)가 서로 다른 두 점에서 만나고, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 \(\sqrt{5}\)일 때, \(f\left(\frac{1}{8}\right)\)의 값은?

응용예제7

좌표평면에서 직선 \(x=a\;(0<a<1)\)가 두 곡선 \(y=\log_{\frac{1}{9}}x\), \(y=\log_{3}x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P,Q}\)라 하고, 직선 \(x=b\;(b>1)\)가 두 곡선 \(y=\log_{\frac{1}{9}}x\), \(y=\log_{3}x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{R,S}\)라 하자. 네 점 \(\mathrm{P,Q,R,S}\)는 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(\overline{\mathrm{PQ}}:\overline{\mathrm{RS}}=2:1\)

\(\quad\)(ㄴ) 선분 \(\mathrm{PR}\)의 중점의 좌표는 \(\frac{9}{8}\)이다.

두 상수 \(a,b\)에 대하여 \(40(b-a)\)의 값을 구하시오.

응용예제8

좌표평면에서 두 곡선 \(y=\left|\log_2 x \right|\)와 \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)이 만나는 두 점을 \(\mathrm P(x_1,y_1)\), \(\mathrm Q(x_2,y_2)\) (여기서 \(x_1 < x_2\))라 하고, 두 곡선 \(y=\left|\log_2 x \right|\)와 \(y=2^x\)이 만나는 점을 \(\mathrm R(x_3,y_3)\)이라 하자. 다음에서 옳은 것은?

\(\quad\)(ㄱ) \(x_3 < \frac{1}{2} < x_1 <1\)

\(\quad\)(ㄴ) \(x_2 \left(x_1 -1\right) > y_1 \left( y_2 -1 \right)\)

\(\quad\)(ㄷ) \(\overline{\mathrm{RQ}} > \sqrt{2}\)

\(\quad\)(ㄹ) \(2^{x_1}+1 > 3^{x_3}\)

응용예제9

그림과 같이 함수 \(y=\log_3 x\)의 그래프 위의 두 점 \(\mathrm P \left(p, \log_3 p\right)\), \(\mathrm Q \left(q, \log_3 q\right)\)에 대하여 세 수 \(A=p^\frac{1}{p}\), \(B=q^\frac{1}{q}\), \(C=\left(\frac{q}{p}\right)^\frac{1}{q-p}\)의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? (단, \(1< p < q < e\), \(e\approx 2.71\)인 오일러 상수)

응용예제10

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)=\log_{\left(a^2+a+1\right)} x\)와 \(g(x)=\log_{\left(a^2-a+1\right)} x\)가 있다.
함수 \(h(x)=f(x)-g(x)\)라 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 로그함수 \(g(x)\)의 밑이 최소가 되게 하는 \(a\) 값에 대하여 \(\displaystyle 2^{\frac{1}{f(2)}-\frac{1}{g(2)}}\)의 값을 구하시오.
(2) \(a\)의 범위에 따라 다음 부등식 \(h(x)>0\)을 푸시오.

응용예제11

세 함수 \(f(x)=\left|\log_2 x\right|\),  \(g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\),  \(h(x)=2^x\)에 대하여 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 만나는 두 점을 \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\)라고 하고, \(f(x)\)와 \(h(x)\)가 만나는 점을 \((x_3,y_3)\)라고 하자. 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, \(x_1 < x_2\))

\(\quad\)(ㄱ) \((x_1-1)(y_2-1) > 0\)

\(\quad\)(ㄴ) \(x_1 x_2 - y_1 y_2 < x_2 -y_1\)

\(\quad\)(ㄷ) \(x_2 y_2 -x_3 y_3 > 0\)

응용예제12

그림과 같이 \(a>1\)인 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(y=a^x\), \(y=\log_a x\)의 그래프와 원 \(x^2+y^2=1\)이 만나는 서로 다른 네 점을 각각 \(\mathrm{A,B,C,D}\)라 하자. \(\angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{12}\)이고 사각형 \(\mathrm{OADC}\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(a\)와 \(S\)의 값을 구하시오.

응용예제13

\(\frac{1}{4}<a<1\)인 실수 \(a\)에 대하여 직선 \(y=1\)이 두 곡선 \(y=\log_a x,\;y=\log_{4a} x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A,B}\)라 하고, 직선 \(y=-1\)이 두 곡선 \(y=\log_a x,\;y=\log_{4a} x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{C,D}\)라 하자. 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] [2021학년도 수능 가형 13번]

\(\quad\)(ㄱ) 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(1:4\)로 외분하는 점의 좌표는 \((0,1)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 직사각형이면 \(a=\frac{1}{2}\)이다.

\(\quad\)(ㄷ) \(\overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{CD}}\)이면 \(\frac{1}{2} < a < 1\)이다.