집합의 연산

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Main articles: Intersection (set theory), Union (set theory), Complement (set theory), Symmetric difference, De Morgan's laws, and Disjoint sets

집합은 원소 사이의 덧셈, 뺄셈 등의 연산은 없습니다. 단지 원소를 포함하는지 그렇지 않은지만 다루기 때문에, 두 개 이상의 집합 사이의 연산이 존재합니다.

교집합과 합집합

두 집합 \(A, B\)에 대하여 집합 \(A\)에도 속하고 집합 \(B\)에도 속하는 원소 전체로 이루어진 집합을 \(A\)와 \(B\)의 교집합이라고 합니다. 기호로는 \(A \cap B\)으로 나타내며, 조건제시법으로는 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(A \cap B=\{x|x\in A\; \mbox{and} \; x \in B\}\)

반면에, 두 집합 \(A, B\)에 대하여 집합 \(A\) 또는 집합 \(B\)에도 속하는 원소 전체로 이루어진 집합을 \(A\)와 \(B\)의 합집합이라고 합니다. 기호로는 \(A \cup B\)으로 나타내며, 조건제시법으로는 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(A \cup B=\{x|x\in A\; \mbox{or} \; x \in B\}\)

두 유한집합 \(A, B\)에 대하여 합집합(\(A \cup B\))의 원소의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)

\(\quad\)\(A\cap B=\emptyset \implies n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)

세 유한집합 \(A, B, C\)에 대하여 합집합(\(A \cup B \cup C\))의 원소의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
n(A\cup B\cup C) &=n(A)+n(B)+n(C) \\
 & -n(A\cap B) -n(B\cap C) -n(C\cap A) \\
 & +n(A \cap B \cap C)
\end{align}\)

이런 경우의 계산 문제는 오른쪽 그림과 같이 벤 다이어그램의 각 영역을 변수로 만들어서 수식을 세우는 것이 좋습니다.

여집합과 차집합

전체집합(Universal set)이 정의되어 있을 때, 전체집합 \(U\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(A\)에 속하지 않는 \(U\)의 원소 전체의 집합을 \(A\)의 여집합이라고 합니다. 기호로는 \(A^c\)으로 나타내며, 조건제시법으로는 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(A^c=\{x|x\in U\;\text{ and }\; x \notin A\}\)

전체집합 \(U\)의 두 부분집합 \(A,B\)에 대하여 \(A\)에는 속하고 \(B\)에는 속하지 않는 원소 전체의 집합을 \(A\)에 대한 \(B\)의 차집합이라고 합니다. 기호로는 \(A-B\)으로 나타내며, 조건제시법으로는 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(A-B=\{x|x\in A\; \mbox{and} \; x \notin B\}\)

\(\quad\)\(A-B=A\cap B^c\)

두 집합 \(A\)와 집합 \(B\)의 대칭차는 \(A\)에 속하거나 \(B\)에는 속하지만, 동시에 둘 다에 속하지는 않는 원소의 집합을 말합니다. 기호로는 \(A\,\triangle\,B\)로 나타내며, 조건제시법으로 다음과 같이 나타냅니다.

\(\quad\)\(A\,\triangle\,B=\{x|(x\in A \mbox{ and } x\not\in B) \mbox{ or } (x\not\in A \mbox{ and } x\in B)\}\)

\(\quad\)\(A\,\triangle\,B=(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)\)

전체집합 \(U\)의 두 부분집합 \(A,B\)에 대하여 여집합과 차집합에 대한 원소의 개수는 다음과 같이 나타내집니다.

\(\quad\)\(n(A^c)=n(U)-n(A)\)

\(\quad\)\(n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)=n(A\cup B)-n(B)\)

드 모르간의 법칙

드 모르간의 법칙 (De Morgan's laws)은 교집합, 합집합, 여집합 연산 사이의 관계(드 모르간의 상대성이라고 부름)를 기술하여 정리한 것을 말합니다. 예를 들어 전체집합 \(U\)의 두 부분집합 \(A,B\)에 대하여 다음이 성립합니다. 두 개 이상의 모든 집합 사이에 확장해서 사용가능합니다.

\(\quad\)\(\left(A\cup B\right)^c = A^c \cap B^c\)

\(\quad\)\(\left(A\cap B\right)^c = A^c \cup B^c\)

서로소

자연수에서는 7과 15의 경우처럼 1 이외의 공약수가 없을 때, 서로소라고 합니다. 집합에서는 교집합이 공집합인 경우에 두 집합을 서로소라고 합니다. 즉, 두 집합 \(A,B\)사이에 \(A\cap B=\emptyset \)일 때, 집합 \(A\)와 \(B\)는 서로소라고 합니다.

응용예제

응용예제1

40명의 학생 중에서 수학 과목을 선청한 학생이 28명, 영어 과목을 선청한 학생이 16명이다. 수학 과목과 영어 과목을 모두 선청한 학생 수의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M+m\)의 값을 구하여라. 

응용예제2

자연수를 원소로 갖는 두 집합

\(\quad\)\(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\}\),

\(\quad\)\(B=\{a_i+d|a_i \in A\}\)

에 대하여 집합 \(A\)의 모든 원소의 합은 32, 집합 \(A \cup B\)의 모든 원소의 합은 62이다. \(A \cap B = \{4,7,9\}\)일 때, 집합 \(A\)의 원소 중에서 값이 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 합을 구하시오. (단 \(n(A)=6\))

응용예제3

집합 \(A\)의 부분집합의 개수를 \(f(A)\)라 할 때, 두 집합 \(A,B\)는 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(n(A)=20,\;n(B) \ge 20\)

\(\quad\)(ㄴ) \(f(A)+f(B)=f(A \cup B)\)

\(f(A \cap B)=2^a\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? (단, \(2^0 =1\))

응용예제4

대한고등학교 1학년 학생을 대상으로 축구, 농구, 야구 세 종목에 대한 선호도를 조사하였더니 축구를 좋아하는 학생이 전체의 \(64\%\), 농구를 좋아하는 학생이 전체의 \(52\%\), 야구를 좋아하는 학생이 전체의 \(38\%\)이었다. 이들 중에서 한 종목만 좋아하는 학생이 전체의 \(46\%\), 세 종목 모두 좋아하는 학생이 전체의 \(12\%\)일 때, 세 종목 모두 좋아하지 않는 학생은 12명이었다. 이때, 두 종목만 좋아하는 학생의 수를 구하시오. 

응용예제5

50명의 학생에게 \(\mathrm{A,B,C}\) 세 종류의 인터넷 검색 사이트의 이용에 대한 조사를 하였다. \(\mathrm{A,B,C}\)를 이용하는 학생은 각각 27명, 34명, 29명이었고, \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)를 동시에 이용하는 학생은 19명, \(\mathrm{B}\)와 \(\mathrm{C}\)를 동시에 이용하는 학생은 24명, \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{C}\)를 동시에 이용하는 학생은 18명이었다. 이때, 세 종류의 인터넷 검색 사이트를 모두 이용하는 학생 수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.