지수의 확장

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See also: Exponentiation

다항식의 곱셈 나눗셈#지수법칙에서 말한 것처럼, 지수법칙과 나눗셈을 연결해서 생각하면, 지수가 0이거나 음의 정수인 경우에 대해 정의할 수 있습니다. 이제 지수가 유리수인 경우에 대해 정의할 필요가 있습니다.

예를 들어, \(\sqrt[3]{5}\)는 5의 세제곱근 하나입니다. 이것은 \(x^3=5\)라는 방정식의 1개의 실근에 대한 표현입니다. 근은, 대입했을 때, 식을 만족하는 값이므로 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\left(\sqrt[3]{5}\right)^3=5\)

한편, 지수법칙으로부터 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\left( 5^{\frac{1}{3} }\right)^3=5\)

우변이 같으므로, 좌변도 서로 같습니다.

\(\quad\)\(\left(\sqrt[3]{5}\right)^3=\left( 5^{\frac{1}{3} }\right)^3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\)

다른 경우에서 \(\sqrt[3]{25}\)는 25의 세제곱근입니다. 이것을 직전의 식에 대입하면 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}\)

또한, \(25=5^2\)이므로 이를 대입하면 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(\sqrt[3]{5^2}=\left(5^2\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}\)

이것은 지수가 분수인 경우는 지수의 분모를 제곱근으로 이해할 수 있으며, 이 정의를 사용할 것입니다. 즉, 지수가 \(\displaystyle \frac{m}{n}\) (\(m\)은 정수, \(n\)은 자연수)이면 다음 식으로 정의합니다.

\(\quad\)\(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\)

이런 식으로 유리수 지수를 정의하면, 유리수 범위에서도 지수법칙은 성립합니다.

마지막으로 지수가 실수인 경우에도 지수법칙이 성립할까요? 이것이 성립하기 위해서는 지수가 무리수인 경우를 정의해야 합니다. 다음과 같은 숫자를 생각해 보겠습니다.

\(\quad\)\([b^3,b^4]\), \([b^{3.1},b^{3.2}]\), \([b^{3.14},b^{3.15}]\), \([b^{3.141},b^{3.142}]\), \([b^{3.1415},b^{3.1416}]\), \([b^{3.14159},b^{3.14160}]\), ...

이렇게 범위를 좁혀 나가면, \(b^\pi\)로 표시되는, 유일한 실수에 가까워집니다. 이런 방식으로 지수가 실수인 경우를 정의할 수 있고, 이는 여전히 지수법칙을 만족합니다.

거듭제곱근의 대소 비교

대소 비교는 복소수에 정의되지 않으므로, 제곱근수가 음수인 경우는 잘 다루어지지 않습니다. 어쨌든, 이런 경우에서는 제곱근수가 음수인 경우에 홀수 제곱근만이 실수로 취급됩니다. 즉, \(a\)가 양수이면 \(n\)이 양의 홀수이면, 다음을 만족합니다.

\(\quad\)\(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)

예를 들어, \(\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}\)입니다.

대소 비교에서 양수는 음수보다 항상 큽니다. 그러므로, 위와 같은 경우를 먼저 판정해 봅니다. 만약 같은 부호일 경우에는 크기에 따라 대소 관계를 판정할 수 있습니다. 둘 다 양수이면, 절댓값이 큰 것이 크고, 반면에 둘 다 음수이면, 절댓값이 큰 것이 작습니다.

만약 \(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[6]{8}\)와 같은 경우에 대소 관계는 어떻게 판정할까요? 보통은 지수로 바꾸어서 생각하는 것이 쉽습니다. 즉

\(\quad\)\(2^\frac{1}{2}, 3^\frac{1}{3}, 6^\frac{1}{6}\)

그런 다음 판단을 쉽게 하기 위해서 같게 만들 수 있는 것을 생각해 봅니다.

\(\quad\)\(2^\frac{3}{6}, 3^\frac{2}{6}, 6^\frac{1}{6}\)

이제 지수법칙에 따라 다음과 같이 씁니다.

\(\quad\)\(8^\frac{1}{6}, 9^\frac{1}{6}, 6^\frac{1}{6}\)

지수가 같아졌기 때문에 밑수가 크면 클수록 절댓값이 커집니다. 따라서 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\therefore 3^\frac{1}{3} > 2^\frac{1}{2} > 6^\frac{1}{6}\)

한편, 다르게 생각하는 방법도 있습니다. 양수는 같은 거듭제곱, 또는 제곱근에 의해 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다. 즉, 위의 식에 모두 6 거듭제곱을 취하면 다음과 같은 식이 만들어집니다.

\(\quad\)\(2^3, 3^2, 6^1\)

다음 예제로써, 

\(\quad\)\(\sqrt[6]{6\sqrt{6}}, \sqrt{2\sqrt{2}}, \sqrt[3]{3\sqrt{3}}\)

가장 바깥쪽의 최소공배수는 6이므로 전체에 6 거듭제곱을 취합니다.

\(\quad\)\(6\sqrt{6}, \left(2\sqrt{2}\right)^3, \left(3\sqrt{3}\right)^2\)

흠, 이건 이렇게 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(6\sqrt{6}, 8\sqrt{8}, 9\sqrt{9}\)

다음과 같은 결론에 이릅니다.

\(\quad\)\(\sqrt[6]{6\sqrt{6}} < \sqrt{2\sqrt{2}} < \sqrt[3]{3\sqrt{3}}\)

지수법칙과 곱셈공식

실수 \(x\)에 대해 \(x+x^{-1}=3\)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

다항식의 곱셈공식#곱셈 공식의 변형을 참조하십시오. 다시 한번 강조하자면, 수학에서 공식은 반드시 이해하면서 기억해야 합니다. 기계적으로 변형해서 이용하는 공식은 사용하지 않는 것을 권장합니다. 이런 것은 이후에 대규모 시스템을 구축할 때, 매우 중요한 습관입니다.

지수와 로그

다음 예제를 생각해 보십시오.

만약 \(63^x=9, 7^y=81\)일 때, \(\frac{2}{x}-\frac{4}{y}\)의 값은?

이런 문제를 지수로 푸는 것은 일반적인 방법은 아닙니다. 굳이 지수로 풀자면, 구하려면 모양과 비슷하게 만들기 위해서 다음과 같은 형태로 바꾸어서 구합니다.

\(\quad\)\(63^x=3^2, 7^y=3^4\) 양쪽 변에 거듭제곱 \(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\)을 각각 취하면

\(\quad\)\(63=3^{\frac{2}{x}}, 7=3^{\frac{4}{y}}\) 변변 나누면

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{63}{7}=3^{\frac{2}{x}-\frac{4}{y}}\)

\(\quad\)\(\displaystyle 3^2=3^{\frac{2}{x}-\frac{4}{y}}\)

\(\quad\)그러므로 \(\displaystyle 2 = \frac{2}{x} − \frac{4}{y}\)

일반적인 경우가 아니므로, 보다 일반적으로는 다음과 같이 로그를 취해서 풉니다.

\(\quad\)\(x=\log_{63}9, y=\log_{7}81\)

\(\quad\)\(x=\log_{63}3^2, y=\log_{7}3^4\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x}{2}=\log_{63}3, \frac{y}{4}=\log_{7}3\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{x}=\log_{3}63, \frac{4}{y}=\log_{3}7\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{4}{y}=\log_{3}63-\log_{3}7\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{4}{y}=\log_{3}\frac{63}{7}\)

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{4}{y}=\log_{3}9\)

\(\quad\)그러므로 \(2 = \frac{2}{x} − \frac{4}{y}\)

훨씬 복잡해 보이지만, 지수에 미지수가 있을 때, 이것을 해결하는 일반적인 방법이 로그입니다. 지수의 문제를 대수의 문제로 바꾸기 때문에 훨씬 쉽습니다.

응용예제

응용예제1

양수 \(a,b\)가 다음 두 조건을 만족할 때, \(2^b\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{3}\)

\(\quad\)(ㄴ) \(3^a = 8^b\)

응용예제2

실수 \(x,y\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2^x}{1+2^{x-y}}+\frac{2^y}{1+2^{-x+y}}=\frac{1}{2}\)

일 때, \(2^{-x}+2^{-y}\)의 값을 구하시오.

응용예제3

\(a^{3x}-a^{-3x}=14\) (단, \(a > 0\))일 때, 다음 값을 구하여라.

\(\quad\)(ㄱ) \(a^x-a^{-x}\)

\(\quad\)(ㄴ) \(a^x+a^{-x}\)

\(\quad\)(ㄷ) \(a^{2x}-a^{-2x}\)

응용예제4

\(x^m+x^{-m}=3\) (단, \(x > 0\))일 때, \(\displaystyle \mathrm{P}=\frac{x^{3m}+x^{-3m}+2}{x^{2m}-x^{-2m}}\)의 값을 구하여라.