등차수열의 합

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Main article: Arithmetic sum

등차수열의 합은 등차수열의 초항부터 \(n\)항까지의 합을 이르는 말입니다. 합은 기호 \(S_n\)으로 나타내고, 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\left(2a_1 + (n-1)d \right)}{2}\)

증명

등차급수의 정의에 따라 수식을 표현하고, 주어진 항을 역순으로 적어도 같은 등차급수를 표현합니다.

\(\quad\)\(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n\)

\(\quad\)\(S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1\)

위의 두 수식을 변변 더하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)\)

여기서 두 개의 항이 더해진 값들은, 등차수열의 성질에 따라서, 서로 같음을 알 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n\)

\(\quad\)\(a_3+a_{n-2}=a_1+2d+a_n-2d=a_1+a_n\)

\(\quad\)\(\quad\vdots\)

그러므로 특별히 \(a_1+a_n\)을 선택하다면, 동일한 값이 \(n\)개 더하는 수식을 간단히 곱셈을 이용하여 적을 수 있습니다. 

\(\quad\)\(2S_n = (a_1 + a_n)\cdot n\)

양변을 \(2\)로 나누면 등차급수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \therefore S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2}\cdot n\)

여기서 선택된 항이 반드시 초항\((a_1)\)과 말항\((a_n)\)일 필요는 없습니다. 더해진 두 항의 위치의 합이 \(n+1\)인 두 항은 언제든지 공식의 \(a_1+a_n\)을 대체할 수 있습니다. 예를 들어, \(a_3+a_{n-2}\), \(a_k+a_{n-k+1}\) 여기서 (\(k<n\)) 등의 어떤 것으로 바꾸어도 상관없습니다.

한편, 첫째항을 \(n\)항을 알고 있을 때 사용하는 등차수열의 합으로부터 일반항 \(a_n=a_1+(n-1)d\)를 대입해서 정리하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}\)

다른 측면

위의 수식을 다음과 같이 바꾸어서 생각할 수도 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{S_n}{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\)

좌변은 원소가 \(n\)개인 등차수열의 합해서 개수 \(n\)으로 나눈 값이므로 등차수열의 평균값입니다.

그러므로 등차급수는 {\(a_n\)}의 평균값 x {\(a_n\)}의 항의 개수로 정리할 수 있습니다(여기서, \(a_n\)은 유한수열입니다).

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용됩니다.

수열의 일반항과 급수의 관계

만약 등차급수로부터 일반항의 공식을 얻고 싶을 때에는 어떻게 할까요?

수열의 합에서 첫항으로부터 \(n\)항까지의 합을 표현한 것이 \(S_n\)입니다. 여기서 주목할 것은 시작이 첫항이 아니면, 한 개의 수열의 합으로 표현이 불가능합니다. 그리고, 더하는 항의 개수가 수열의 합의 아래첨자를 결정합니다. 즉, 아래와 같이 두 개의 수식을 만들 수 있습니다.

\(\quad\)\(S_n= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1}+ a_n\)

\(\quad\)\(S_{n-1}=a_1+a_2+a_3 + \cdots +a_{n-1}\)

위의 두 수식을 변변 빼주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(S_n - S_{n-1} = a_n\quad \cdots (1)\)

그러나 이 수식은 \(n=1\)일 때 다음과 같이 나타납니다.

\(\quad\)\(S_1 - S_0 = a_1\)

수열에서는 0번째 항은 정의가 되지 않기 때문에 \(n=1\)때에는 (1)의 수식을 이용할 수 없습니다.

한편 \(n=1\)일 때에는 등차급수의 정의에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(S_1 = a_1\)

이를 정리하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
& a_1 = S_1 \\
& a_n = S_n - S_{n-1}\; (\text{where},\; n \geq 2)
\end{align}\right.\)

이 내용은 등차수열이 아닌 모든 수열에 공통으로 이용할 수 있습니다.

등차급수와 등차수열의 일반항

등차급수는 \(n\)에 대한 이차식으로 정리할 수 있습니다.

\(\quad\)\(S_n = pn^2+qn\) (단, \(p, q\)는 상수, \(d\neq 0\))

이제 수열의 합과 일반항의 관계를 알았기 때문에 이 식으로부터 등차수열의 일반항을 얻어 보겠습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}a_n
& =pn^2+qn-\left\{p(n-1)^2+q(n-1)\right\} \\
& =2pn-p+q
\end{align}\)

그러므로 다음과 같이 적을 수 있습니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
& a_1 = p+q \\
& a_n = 2pn-p+q\; (\text{where},\; n \geq 2)
\end{align}\right.\)

그러나 위에서 얻어진 일반항에 \(a_n\)에 \(n=1\)을 대입하면, 별도로 계산한 \(a_1=p+q\)의 값과 같아집니다. 이런 경우라면 첫항을 별도로 적어줄 필요가 없으므로, 다음과 같이 한 개의 식으로 적어줍니다.

\(\quad\)\(a_n = 2pn-p+q\)

이는 수열의 합이 상수항이 없는 \(n\)에 이차식으로 주어지면, 원래 수열은 첫 항부터 등차수열을 이룸을 뜻합니다.

그럼 상수항이 있을 때에는 어떻게 될까요?

\(\quad\)\(S_n = pn^2+qn+r\)

이때에는 일반항이 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
& a_1 = p+q+r \\
& a_n = 2pn-p+q\; (\text{where},\; n \geq 2)
\end{align}\right.\)

이 식은 일반항에 \(n=1\)을 대입하면 위쪽에 구해진 첫항과 다릅니다. 당연히 참값은 주어진 조건에서 얻은 \(a_1=p+q+r\)입니다. 이때에는 첫 번째 항은 등차수열을 이루지 못하고, 두 번째 항부터 등차수열을 이룹니다. 따라서, (전체) 수열은 등차수열이 아닙니다.

수열의 합이 \(n\)에 대한 이차식일 때에는 원래 수열은 첫 번째나 두 번째부터 등차수열을 이룹니다. 이때의 공차는 등차급수의 이차항의 계수의 2배가 됨을 식에서 볼 수 있습니다. 이 사실을 기억하고 있다면, 일반항 \(a_n\)을 구할 때 복잡한 식을 이용할 필요가 없습니다.

예를 들어, \(S_n=3n^2-4n\)으로 주어지면, 상수항이 없으므로 첫째 항부터 등차수열을 이루고 공차 \(d=6\)임을 알 수 있습니다. 또한, \(a_1=-1\)이므로 다음과 같이 등차수열을 바로 적을 수 있습니다. 

\(\quad\)\(a_n=6n-7\)

공차는 알고 있으므로 \(6n\)을 먼저 적고 뒤의 상수항은 \(n=1\)을 대입했을 때, \(a_1=-1\)이 되는 값을 적어줍니다.

한편, 상수항이 있을 때에는 다르게 적어주어야 합니다.

예를 들어, \(S_n=3n^2-4n+5\)와 같이 주어지면, 일반항은 다음과 같이 표현해 주어야 합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
& a_1 = 4 \\
& a_n = 6n-7\; (\text{where},\; n \geq 2)
\end{align}\right.\)

아래의 일반항을 구할 때에는 상수항을 없애고 위에서 사용한 방법을 이용합니다. 즉, 초항만 별도로 적어주면 됩니다.

응용예제

응용예제1

\(n\)이 1보다 크고 100보다 작은 자연수일 때, 다음 식의 최솟값을 구하여라.

\(\quad\)\(\mathrm{S}=|n-1|+|n-2|+|n-3|+\cdots+|n-100|\)

응용예제2

공차가 양수인 등차수열의 홀수 번째 항의 합은 72, 짝수 번째 항의 합은 60일 때, 이 등차수열의 항수를 구하여라.

응용예제3

양의 실수 \(x\)에 대하여 \(x-\lfloor x\rfloor, \lfloor x\rfloor, x\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(x-\lfloor x\rfloor\)의 값은? (단, \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

응용예제4

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\), 수열 \(\{a_n\}\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(T_n\)이라 하자.

\(\quad\)\(\displaystyle S_n=n^2+1,\;T_n=\frac{n(4n^2+21n-1)}{6}+6\)

일 때, 수열 \(\{a_n+b_n\}\)의 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하시오.

응용예제5

첫째항이 3인 등차수열 \(\left\{a_n\right\}\)에 대하여 \(\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k = 55\)일 때, \(\displaystyle \sum_{k=1}^5 \left(a_k-3\right)\)의 값을 구하시오. [3점] [2021학년도 수능 가형 25번]

응용예제6

첫째항이 50이고 공차가 –4인 등차수열의 첫째 항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle \sum_{k=m}^{m+4} S_k\)의 값이 최대가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 15번]