연립일차방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/연립일차방정식

연립일차방정식은 여러 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 부르는 말입니다. 모든 일차방정식을 만족하는 임의의 변수들의 조합을 해로 갖습니다. 예를 들어, 미지수가 2개일 때에는 \(x=2\) 그리고 \(y=3\)와 같이 2개의 조합으로 답이 구해집니다.

2원1차 연립방정식

미지수가 2개(2원)인 일차(1차)방정식을 묶어서 연립방정식을 구성합니다. 예를 들어 아래와 같은 식이 2원1차 연립방정식입니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
2x +  y & = 5 & \cdots(1) \\
8x - 5y & = 11 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)

연립방정식에서 소개한 것처럼 가감법과 대입법을 이용해서 해를 구합니다.

가감법

미지수의 계수를 같게 한 후에 변변 더하거나 빼서 해를 구합니다. \((1)\)에 5개 곱해서 변변 더합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
10x +  5y & = 25 \\
8x - 5y & = 11
\end{align}\right.\)

\(18x=36\)이므로 \(x=2\)이고, 이것을 \((1)\)에 대입해서 \(y=1\)의 해를 구합니다.

\(\quad\)∴ \(x=2\) 그리고 \(y=1\)

대입법

어떤 식을 1개의 미지수에 대해서 정리한 후에 다른 식에 대입해서 해를 구합니다.

즉, \((1)\)을 \(y=5-2x\)으로 변경해서 \((2)\)에 대입해서 해를 구합니다.

부정/불능

일차방정식에서 처럼 해가 무수히 많은 경우와 해가 없는 경우가 있을 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같은 경우가 부정인 경우입니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
2x +  y & = 5 & \cdots(3) \\
4x + 2y & = 10 & \cdots(4)
\end{align}\right.\)

부정인 경우에는 (3)의 식에 2를 곱하면 (4)의 식을 만들 수 있습니다.

이와 같이 어떤 식의 실수배가 다른 식이 되면, 부정인 경우입니다. 또한, 가감법을 사용하면 \(0\cdot x+0 \cdot y = 0\)의 모양을 띕니다.

불능인 경우에는 가감법을 사용했을 때, \(0\cdot x + 0\cdot y=k\; (k\ne 0)\)의 모양을 띕니다. 미지수는 실수배가 되지만, 상수항은 실수배로 같게 할 수 없는 경우입니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
2x +  y & = 5 & \cdots(3) \\
4x + 2y & = 11 & \cdots(4)
\end{align}\right.\)

3원1차 연립방정식

미지수가 3개(3원)인 일차방정식을 묶어서 연립방정식을 구성합니다. 예를 들어 아래와 같은 식이 3원1차 연립방정식입니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
2x +  3y -z& = 5 & \cdots(1) \\
x - y +z & = 2 & \cdots(2) \\
3x + 2y - 3z & = -2 & \cdots(3)
\end{align}\right.\)

3원1차 연립방정식은 1개의 미지수를 소거해서 2원1차 연립방정식을 만들고, 2원1차 연립방정식을 소거법이나 대입법을 이용해서 풀어서 해를 구합니다.

소거할 미지수를 선택할 때에는 가급적 실수배가 적게 발생하는 것을 선택합니다. 이 경우에는 실수배를 1번만 해도 되는 \(z\)를 선택하는 것이 유리합니다.

즉, \((1)+(2)\), \((2)\times 3+(3)\)으로 아래와 같이 2원1차 연립방정식을 만듭니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
3x +  2y & = 7 & \cdots(4) \\
6x - y & = 4 & \cdots(5) 
\end{align}\right.\)

이제 \((4), (5)\)를 이용해서 \(x,y\)를 구한 후에 \((2)\)식에 대입해서 \(z\)를 구합니다.

특이한 경우

3원1차 연립방정식에 특이한 경우는 미지수와 미지수의 계수들이 규칙을 갖게 되는 경우입니다. 이때에는 가감법을 사용하지 않고, 새롭게 만들어진 식과 원식을 비교해서 해를 구합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x + y & = 7 & \cdots(1) \\
y + z & = 8 & \cdots(2) \\
z + x & = 9 & \cdots(3)
\end{align}\right.\)

세 식을 변변 더해서 새로운 식을 다음과 같이 얻어 냅니다.

\(\quad\)\(x+y+z=12 \cdots(4)\)

(1)과 (4)를 비교하면 \(z=5\)임을, (2)와 (4)를 비교하면, \(x=4\)임을, (3)와 (4)를 비교하면, \(y=3\)임을 쉽게 알 수 있습니다.

연립방정식에서는 미지수를 줄이는 소거법을 많이 이용하지만, 이와 같이 특별한 경우에는 식을 늘려서 해를 구할 수도 있습니다.

규칙이 있을 때에는 새롭게 만들어진 식과 원식을 비교해서 해를 구해줍니다. 여기서는 변수들이 덧셈으로 이루어져 있기 때문에 변변 더한 식을 만들었습니다. 예를 들어 주어진 식이 변수들의 곱으로 이루어져 있으면 변변 곱한 식과 이전 식을 비교해서 해를 구합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x \cdot y & = 6 & \cdots(1) \\
y \cdot z & = 8 & \cdots(2) \\
z \cdot x & = 12 & \cdots(3)
\end{align}\right.\)

세 변을 변변 곱해서 새로운 식을 다음과 같이 만들어 냅니다.

\(\quad\)\((xyz)^2=(2\cdot 3\cdot 4)^2 \cdots(4)\)

식 (4)에서 해를 구한 후에 기존에 주어진 식 (1), (2), (3)의 값을 하나씩 대입해서 전체 해를 구할 수 있습니다.