이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/이차함수의_그래프와_직선의_위치_관계

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에 대해서 알아보았습니다. 이제 개념을 확장해서 이차함수와 직선이 만나는지 유무에 대해 알아보겠습니다.

일반화

이차함수 \(y=a_1x^2+b_1x+c_1\)와 직선 \(y=mx+n\)이 만나는 경우는 이 둘을 연립방정식을 풀었을 때, \(a_1x^2+b_1x+c_1=mx+n\) 실근을 갖게 되는 경우입니다. 여기서 표현되지 않는 \(x=k\)와 같은 직선도 같은 방법으로 사용가능합니다.
왜냐하면, 위의 식을 정리해서 만들어지는 \(a_1x^2+(b_1-m)x+(c_1-n)=0\)은 이차함수 \(y=a_1x^2+(b_1-m)x+(c_1-n)\)와 \(y=0\)(x축) 사이의 위치 관계에 해당되기 때문입니다. 즉, \(a_1=a, (b_1-m)=b, (c_1-n)=c\)로 치환하면, \(y=ax^2+bx+c\)의 일반적인 이차함수가 되기 때문입니다. 

예를 들어, \(y=x^2\)과 \(y=4x-3\)이 만나는 문제는:
\(\quad\)연립방정식 \(x^2=4x-3\)을 거쳐서
\(\quad\)\(x^2-4x+3=0\)으로 정리한 후에
\(\quad\)\(y=x^2-4x+3\)와 \(y=0\)(x축)과 위치 관계로 다룰 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 이차함수 \(y=x^2-5x+5\)의 그래프가 \(x\)-축과 만나는 점을 각각 \(A,B\)라 놓습니다. 점 \(A\)와 점 \((0,-1)\)을 지나는 직선 \(l\)이 이차함수와 만나는 점의 \(x\) 좌표를 \(q\)라 하고, 점 \(B\)와 점 \((0,-3)\)을 지나는 직선 \(m\)이 이차함수와 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(p\)라 할 때, \(6p+8q\)의 값은 얼마일까요?

응용예제2

이차항의 계수가 –2인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 모두 만족합니다.
\(\quad\)(가) 이차함수 \(y=f(x)\)의 그래프의 대칭축의 방정식은 \(x=1\)입니다.
\(\quad\)(나) 이차함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 직선 \(y=2x-1\)과 접합니다.
이때, 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)-축의 교점의 \(x\)-좌표를 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(|\alpha-\beta|\)의 값은?

응용예제3

그림과 같이 이차함수 \(y=x^2-3x-4\)의 그래프와 직선 \(y=x+6\)이 만나는 서로 다른 두 점 \(A,\;B\)와 원점 \(O\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(\frac{1}{9}S^2\)의 값은?

응용예제4

\(y=2x-ka+a^2\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 이차함수 \(y=x^2+kx-4\)의 그래프와 만날 때, 실수 \(a\)의 최댓값을 구하시오.

응용예제5

다음 그림과 같은 두 직각이등변삼각형 \(\mathrm{ABC},\;\mathrm{DEF}\)가 있습니다. 이차함수 \(y=ax^2-4ax+4a\;(a>0)\)의 그래프와 두 삼각형 \(\mathrm{ABC},\;\mathrm{DEF}\)의 교점의 개수를 \(f(a)\)라 할 때, 보기 중 옮은 것은?
\(\quad\)(가) \(\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\right)=4\)
\(\quad\)(나) \(\displaystyle 0<a<\frac{1}{36}\)이면 \(f(a)=1\)
\(\quad\)(다) \(a>1\)이면 \(f(a)=4\)

응용예제6

다음 함수
\(\quad\)\(y=\left\{\begin{align}
x^2 -3x -4 &\quad (x<-1\; \mbox{or}\; x>4) \\
-x^2 + 3x +4 &\quad (-1\le x \le 4)
\end{align}\right.\)
의 그래프와 직선 \(y=-x+k\)가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하시오.

응용예제7

그림과 같이 이차함수 \(f(x)=x^2-5x+m\)과 일차함수 \(g(x)=ax+b\)에 대하여 \(y=f(x),\;y=g(x)\)의 그래프가 서로 다른 두 점 \(\mathrm P,\;\mathrm Q\)에서 만납니다. 점 \(\mathrm P\)의 \(x\)-좌표가 \(3-\sqrt{11}\)이고, \(h(x)=g(x)-f(x)\)라 할 때, 함수 \(h(x)\)는 \(x=p\)에서 최댓값 \(q\)를 가집니다. \(p+q\)의 값은? (단, \(a,\;b,\;m\)은 유리수)

응용예제8

이차함수 \(y=x^2+(a+2)x+b-4\)의 그래프가 직선 \(y=3x+2\)와 점 \((-1,-1)\)에서 접할 때, 실수 \(a,b\)의 값을 구하시오.

응용예제9

이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킵니다.
\(\quad\)(가) \(f(2)=0\)
\(\quad\)(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le f(5)\)
다음 중 옳은 것을 전부 고르세요.
\(\quad\)ㄱ. \(f(3)=f(7)\)
\(\quad\)ㄴ. 이차함수 \(f(x)\)의 그래프는 제2사분면을 지나지 않습니다.
\(\quad\)ㄷ. \(f(1)=k\)라 할 때, 이차함수 \(f(x)\)의 그래프와 직선 \(y=kx\)의 서로 다른 두 교점의 \(x\)-좌표의 합은 10입니다.

응용문제10

이차함수 \(y=f(x)\)와 원점을 지나는 일차함수 \(y=g(x)\)가 두 점 \(\mathrm{A,B}\)에서 만납니다. 이차함수의 꼭짓점이 점 (1,2)이고 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점이 점 \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\)일 때, 두 함수 \(f(x), g(x)\)를 구하시오.

응용예제11

이차함수 \(y=-x^2+2x\)위의 점 중에서 직선 \(y=-2x+5\)에 이르는 거리가 최소인 점의 좌표를 구하여라.

응용예제12

이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)가 점 (1,1)을 지나고, 점 (2,–1)에서 직선 \(y=x-3\)과 접할 때, 상수 \(a,b,c\)의 값을 구하여라.

응용예제13

두 직선 \(y=ax+1,\;y=bx+1\)은 서로 수직 관계이고, 이차함수 \(\displaystyle y=-x^2+2x+\frac{c}{4}\)의 그래프와 두 직선은, 각각, 한 점에서 만납니다. 이때, \(a+b+c\)의 값은?

응용예제14

조각별로 정의된 함수
\(\quad\)\(f(x)=\left\{\begin{align}
(x-1)^2 &\quad 0 < x <3 \\
5 &\quad 3 \le x < 4 \\
-3x+17 &\quad 4 \le x \le 6
\end{align}\right.\)
위의 한 점 (\(x \neq 4\))과 점 \((4,5)\)를 지나는 직선의 방정식의 기울기의 최댓값을 \(\mathrm{M}\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(2\mathrm{M}+m\)의 값은?

응용예제15

이차방정식 \(x^2-(4a+2)x+2a+3=0\)이 \(-1 \le x \le 5\)에서 실근을 갖도록 하는 \(a\) 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

응용예제16

이차방정식 \(x^2-(m+1)x+2m=0\)이 \(-1\le x \le 1\)에서 적어도 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 \(m\)의 값의 범위는 \(p \le m \le q\)이다. 이때, \(\frac{9}{2}p+q\)의 값은?

응용예제17

이차함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식
\(\quad\)\(f(|x|)+3=0\)
의 모든 실근의 합을 구하여라.

응용예제18

이차함수 \(y=x^2-1\)의 그래프와 직선 \(y=ax\;(a>0)\)의 두 교점을 \(\mathrm{P,Q}\)라 하면 \(\overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} = 17\)이 성립할 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

응용예제19

그림과 같이 이차함수 \(y=x^2-1\)의 그래프와 직선 \(y=kx\)의 서로 다른 두 교점을 \(\mathrm{A,B}\)라 하고, 두 점 \(\mathrm{A,B}\)에서 각각 이차함수 \(y=x^2-1\)의 그래프에 접하는 직선을 그었을 때의 두 직선의 교점을 \(\mathrm{C}\)라 하자. 두 점 \(\mathrm{A,B}\)의 \(x\)-좌표를 각각 \(\alpha,\;\beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta=4\)를 만족시키는 삼각형 \(\mathrm{ACB}\)의 넓이를 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

응용예제20

그림과 같이 일차함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 점 \((8,0)\)을 지나고, 이차함수 \(y=g(x)\)의 그래프는 직선 \(x=8\)을 축으로 한다. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 \(x\)-좌표가 각각 4, 16일 때, 방정식 \(|f(x)|+g(x)=0\)의 모든 실근의 곱을 구하시오. (단, 두 함수 \(f(x),g(x)\)의 선행 계수의 계수는 양수이다.)

응용예제21

함수 \(f(x)=x^2-4ax+a\)에서 \(O<x<1\)일 때의 함숫값이 항상 양수가 되도록 하는 상수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

응용예제22

그림과 같이 일차함수 \(y=x\)의 그래프와 이차함수 \(y=x^2\)의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다. 이차함수 \(y=x^2\)의 그래프 위에 두 점 \(\mathrm{A,B}\)를 잡고, 직선 \(y=x\) 위에 두 점 \(\mathrm{C,D}\)를 잡아 이 도형 위에 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)를 그린다. 이 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 대각선의 길이가 \(2\sqrt{a}+b\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b\)는 유리수이다.)