로그의 성질

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/로그의_성질

See also: Logarithm § Logarithmic identities, and List of logarithmic identities

로그의 뜻에서 로그의 정의가 만들어진 배경에 대해 알아보았습니다. 이제 새롭게 만들어진 로그가 어떤 성질을 갖고 있는지 확인해 볼 차례입니다.

지수와 로그는 항상은 아니지만, 조건만 만족하면, 표현을 바꿀 수 있습니다. 이것은 로그의 성질도 지수의 성질로부터 얻어질 수 있음을 의미합니다. 이 기사에서는 특별한 언급이 없더라도, 밑수는 양수이고, 1이 아닌 것을 가정하고, 로그의 인수는 양수를 가정합니다.

먼저, 지수에서 특별한 경우를 생각해 보십시요. (물론 밑수가 1일 때, 값이 변하지 않는 것은 로그로 표현할 수 없다고 배웠으니 그것은 제외를 합니다.) 다음과 같은 두 가지 경우가 있습니다.

\(\quad\)\(a^0=1 \Leftrightarrow 0=\log_a 1\)

\(\quad\)\(a^1=a \Leftrightarrow 1=\log_a a\)

이런 자명한 경우는 쉽게 이해가 됩니다.

다음으로는 로그와 지수는 뗄 수 없는 관계이므로, 지수법칙으로부터 몇가지 성질을 발견할 수 있습니다.

예를 들어, \(x=a^m, y=a^n\)이면 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)\(xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

위 식은 로그의 정의를 사용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(xy=a^{m+n} \Leftrightarrow m+n=\log_a{xy}\)

한편, 가정된 식은 다음과 같이 로그로 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(x=a^m \Leftrightarrow m=\log_a x\)

\(\quad\)\(y=a^n \Leftrightarrow n=\log_a y\)

이 식을 바로 직전 식에 대입하면 다음과 같은 식을 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\log_a{xy} = \log_a x + \log_a y\)

이와 비슷한 방법으로 지수 법칙의 다음 식

\(\quad\)\(x\div y=a^m \div a^n=a^{m-n}\)

은 로그 식

\(\quad\)\(\displaystyle \log_a{\frac{x}{y}} = \log_a x - \log_a y\)

로 쓰입니다.

다음 지수 법칙도 로그 식으로 바꿀 수 있습니다.

\(\quad\)\(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)

다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(x=a^m \Leftrightarrow m=\log_a x\quad\cdots(1)\)

\(\quad\)\(x^n=\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)

이 식을 로그 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(mn=\log_a{x^n}\)

그러므로 (1)을 대입해서 다음 식을 얻습니다.

\(\quad\)\(\log_a{x^n}=n\log_a m\)

로그의 밑 변환

이전의 로그의 성질을 보면, 로그의 밑이 같아야 연산을 할 수 있음을 알 수 있습니다. 이것을 다르게 생각하면, 밑수가 같지 않으면, 위의 성질을 이용할 수 없다는 것입니다. 그래서 밑을 같게 만드는 방법이 있으면 좋을 것 같습니다.

먼저 다음 식을 지수 식으로 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\log_a b=\log_a b \Leftrightarrow b=a^{\log_a b}\quad\cdots(2)\)

위 (2) 식의 양변에 \(\log_c\)를 적용해서, 다음을 얻습니다:

\(\quad\)\( \log_c b = \log_c (a^{\log_a b}) = \log_a b \cdot \log_c a\).

\(\log_a b\)에 대한 해를 구하면 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \log_a b =  \frac{\log_c b}{\log_c a}\)

이 결과는 \(\log_a b\)를 임의의 1이 아닌 양수 \(c\)를 새로운 밑으로 갖는 로그로 표현할 수 있다는 것을 의미합니다.

위 식에서 \(c = b\)이면, 다음 식이 성립합니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \log_a b =  \frac{1}{\log_b a}\)

즉, 임의의 로그에서 그의 밑수와 인수가 바뀌면, 해당 로그의 곱셈에 대한 역수를 나타냄을 의미합니다.

그 외에 수많은 항등식은 로그의 항등식 기사를 참조하십시오.

응용예제

응용예제1

\(\log_4 2n^2-\frac{1}{2} \log_2 \sqrt{n}\)의 값이 \(40\) 이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오. [4점] [2021학년도 수능 가형 27번]