복소수의 연산

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/복소수의_연산

복수수의 사칙연산은 다항식의 사칙 연산을 하는 방법과 동일합니다. 즉, \(i\)를 다항식의 \(x\)로 생각하고 전개를 한 후에, \(i\)이 거듭제곱이 생기면 간단히해서 정리를 합니다.

켤레복소수

이전 과정에서 분모 유리화를 배웠습니다. 분모 유리화는 분모에 무리수가 있을 때, 적절한 방법을 통해서 유리수로 만드는 과정을 말합니다.

분모 유리화는 숫자의 크기를 판단하기 쉽게 하기 위함입니다. 나눗셈은 몫 그 자체, 예를 들어, 5/3이므로, 대체로 정수 몫과 나머지로 표시하는 것, 1+2/3이 더 이해하기 쉽습니다.

예를 들어 \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\) 또는 \(\frac{7}{\sqrt{21}}\)보다는 분모 유리화를 해서 \(\frac{\sqrt{21}}{3}\)로 생각하는 것이 대략적인 근삿값을 추정하기 쉽기 때문에 훨씬 직관적입니다. 

유리수에서는 다항식의 곱셈공식 중에 합-차 공식을 이용해서 아래처럼 분모 유리화를 합니다.

유리수 \(a, b, c(\geq 0)\)에 대하여 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\left(a+b\sqrt{c}\right)\left(a-b\sqrt{c}\right)=a^2-\left(b\sqrt{c}\right)^2\)

마찬가지로 이유로 분모에는 복소수를 두지 않고 반드시 실수로 바꾸어 주어야 합니다. 그래야, 복소수에서 다루는 실수 부분과 허수 부분의 분리를 쉽게 할 수 있기 때문입니다.

또한, 복소수에서도 분모 실수화를 다항식의 곱셈공식 중에 합-차 공식을 이용해서 수행합니다.

실수 \(a,b\)에 대하여 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2-\left(bi\right)^2=a^2+b^2\)

여기서, 복소수 \(z=\left(a+bi\right)\)에 대해서 그 허수부의 부호가 반대로 바뀐 복소수 \(\overline{z}=\left(a-bi\right)\)를 \(\left(a+bi\right)\)의 켤레복소수 또는 공액복소수라고 부릅니다.

켤레복소수의 연산

켤레복소수 끼리의 곱셈의 결과가 실수라는 사실은 켤레복소수에서 알아보았습니다. 나머지 연산에 대해서도 알아보겠습니다.

복수수 \(z=\left(a+bi\right)\) (단, \(a, b\)는 실수)에 대해서 다음 연산이 성립합니다.

1. 덧셈 \(z+\overline{z}=2a\) : 실수
2. 뺄셈 \(z-\overline{z}=2bi\) : 복소수
3. 곱셈 \(z\cdot \overline{z}=a^2+b^2\) : 실수
4. 나눗셈 \(\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i\) (단, \(a^2+b^2\neq 0\)) : 복소수

결과를 보면 덧셈, 곱셈은 결과가 실수가 나옵니다. 반면에 뺄셈은 결과가 순허수라고 오해해서는 안됩니다. 조건에는 \(b\)가 실수이기 때문에 \(b=0\)의 값을 가질 수 있습니다. 그래서 뺄셈에서도 실수(비록 1개이지만)는 만들어질 수 있습니다. 물론 \(b\neq 0\) 또는 \(b>0\)등의 조건이 있으면, 순허수입니다.

게다가, 순허수의 정의는 선택적입니다. 즉, 0을 순허수에 넣을지 말지는 저자에 따라 다르기 때문에, 문제를 출제할 때, 명시적으로 문구를 주어야 합니다.

켤레복소수의 성질

두 복소수 \(z_{1}, z_{2}\)에 대하여, 다음을 만족합니다.

1. \(\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\)
2. \(\overline{z_{1}-z_{2}}=\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\)
3. \(\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}\)
4. \(\displaystyle\left(\overline{\frac{z_{1}}{z_{2}}}\right)=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}\) (단, \(z_{2}\neq 0\))
5. \(\overline{\left(\overline{z_{1}}\right)}=z_{1}\)
6. \(z=\overline{z}\)이면 \(z\)는 실수

이 성질은 실수\(a,b,c,d\)에 대하여 \(z_{1}=a+bi\), \(z_{2}=c+di\)로 두고 대입하면 쉽게 증명이 됩니다. 
어떤 연산에서도 켤레복소수를 함께 있는 것은 각각 나누어서, 또는 반대로 나뉘어져 있는 것은 모아서 계산할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

복소수의 사칙연산

복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(단, 분모 ≠ 0을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

• 덧셈 : \(\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• 뺄셈 : \(\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
• 곱셈 : \(\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i\)
• 나눗셈 : \(\,\displaystyle\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,\)

복소수 연산에 대한 기본 성질

일반적으로 실수에서와 같이 복소수에서도 덧셈, 곱셈에 대하여 아래와 같은 성질이 성립합니다.

임의의 세 복소수 \(z_1, z_2, z_3\)에 대하여

• 교환법칙 : \(z_1+z_2=z_2+z_1\), \(z_1 z_2=z_2 z_1\)
• 결합법칙 : \(\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)\), \(\left(z_1 z_2\right) z_3=z_1\left(z_2 z_3\right)\)
• 분배법칙 : \(z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2 +z_1 z_3\), \(\left(z_1+z_2\right)z_3=z_1 z_3+z_2 z_3\)

제곱근의 성질

이전 과정에서는 제곱근의 성질은 다음과 같습니다.

\(a>0, b>0\)일 때,

• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
• \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

이전 과정에서는 허수가 정의되지 않았기 때문에 양수 범위에서 계산을 했습니다.

음의 제곱근의 성질

허수단위를 배운 후에는 제곱근 안쪽이 음수가 되면, 허수가 됨을 알고 있습니다. 이전 과정에서 배운 제곱근의 곱셈과 나눗셈이 부호가 달라지는 경우가 아래와 같이 2가지 경우가 생깁니다.

\(a\le 0,\;b\le 0\)일 때,

• \(\sqrt{a}\times \sqrt{b}=-\sqrt{ab}\)

\(a\ge 0,\;b < 0\)일 때,

• \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}\)

증명) \(a<0, b<0\)일 때, \(\sqrt a \times \sqrt b=\sqrt{-a} i \times \sqrt{-b} i=\sqrt {ab}i^2=-\sqrt {ab}\)

\(a>0, b<0\)일 때, \(\displaystyle {\sqrt a \over \sqrt b}={\sqrt a \over \sqrt{-b}i}={\sqrt{a}i \over \sqrt{-b}i^2}=-\sqrt {a \over{-b}}i=-\sqrt {a \over b}\)

음의 제곱근과 관련된 문제들은 문자로 주어지는 경우가 많습니다. 만약 제곱근 안쪽이 음수라면, 허수단위를 사용해서, 제곱근 안쪽의 부호를 반대로 만들고 그 값과 \(i\)를 곱해서 식을 쓰면 대부분 해결의 실마리가 보입니다.

예를 들어 \(a>0\)일 때, \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)라고 쓸 수 있습니다.

다른 예로, \(k<0\)일 때, \(\sqrt{k}=\sqrt{-k}i\)라고 쓸 수 있습니다.

이렇게 바꾸고 나면 제곱근 안쪽이 양수가 되기 때문에 제곱근 끼리의 곱셈이나 나눗셈에서 제곱근을 합하거나 나누어서 쓸 수 있게 되는 장점이 생깁니다.

즉, \(a>0,\;k<0\)일 때, \(\sqrt{-a}\sqrt{k}=\sqrt{a}i\sqrt{-k}i=\sqrt{-ak}i^2=-\sqrt{-ak}\)와 같이 쉽게 계산이 됩니다.

책마다 경계조건을 명확히 하지 않아 풀이시에 함정에 걸리는 경우가 많습니다. 비록 제목이 음의 제곱근이지만, 제곱근 0의 값은 0입니다. 그러므로 분자는 등호의 유무가 크게 상관이 없지만, 있든 없든 무조건 참이기 때문에, 분모는 절대 등호가 있어서는 안됩니다.

응용예제

응용예제1

복소수 \(\displaystyle z=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{3z^3+5z^2+z+1}=az+b\)

를 만족시키는 두 실수 \(a,b\)에 대하여 \(2ab\)는 얼마일까요?

응용예제2

영이 아닌 세 복소수 \(a,b,c\)에 대하여 다음 조건을 만족합니다.

\(\quad\)(가) \(a+b+c=0\)

\(\quad\)(나) \(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

이때, \(\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)의 값을 구하시오.

응용예제3

\(1\)이 아닌 서로 다른 복소수 \(z_1,\;z_2,\;z_3\)에 대하여

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{z_1}{1-z_2}=\frac{z_2}{1-z_3}=\frac{z_3}{1-z_1}=k\) (\(k\)는 복소수)

라 할 때, \((k+k^2+k^3+\cdots+k^{2017}+k^{2018})^2\)의 값은?

응용예제4

방정식 \(x^2+x+1=0\)의 한 허근을 \(\omega\)라고 할 때, \(\omega^{4n}+(\omega+1)^{4n}+1=0\)을 만족시키는 100이하의 양의 정수 \(n\)의 개수를 구하여라.

응용예제5

복소수 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)이고, \(\displaystyle f(n)=\frac{\omega^{2n}}{\omega^n+1}\)일 때, \(f(1)+f(2)+\cdots+f(10)\)을 구하여라. (단, \(n\)은 정수)

응용문제6

다음 조건을 모두 만족하는 복소수 \(z=a+bi\) (\(a, b\)는 실수)에 대하여 \(ab\)의 값은? (단, \(i=\sqrt{-1}\)이고, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수입니다.)

\(\quad\)(가) \(\displaystyle \frac{z-\overline{z}}{i}\)는 양의 실수입니다.

\(\quad\)(나) \((z+1)^2\)은 음의 실수입니다.

\(\quad\)(다) \(\displaystyle z+\frac{2}{z}\)는 실수입니다.

응용예제7

다음 두 조건을 모두 만족시키는 복소수 \(z\)에 대하여 \(z^{20}+\left(\overline{z}\right)^{20}\)이 될 수 있는 값의 총합을 \(s\)라 할 때, \(-50s\)을 구하면? \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수입니다.)

\(\quad\)(가) \(z^{20}\ne 1\)

\(\quad\)(나) \(z^{100}=1\)

응용예제8

두 복소수 \(\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{3}-1}{2(1-i)}\), \(\displaystyle \beta=\frac{\sqrt{3}+1}{2(1+i)}\)에 대하여

\(\quad\)\(1+(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)^2+(\alpha-\beta)^3+\cdots+(\alpha-\beta)^{100}\)

의 값은?

응용예제9

두 복소수 \(\alpha,\;\beta\)에 대하여 다음 두 관계를 만족할 때,

\(\quad\)\(\alpha\overline\alpha=\beta\overline\beta=2\), \((\alpha+\beta)(\overline{\alpha+\beta})=1\)

아래 두 값을 구하시오.

\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\;\;\;\)

\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\)

응용예제10

복소수 \(z=a+bi\) (\(a, b\)는 0이 아닌 실수)에 대하여 \(z^2-z\)가 실수일 때, 다음에서 옳은 것을 고르시오. (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.)

\(\quad\)(ㄱ) \(\overline{z^2-z}\)는 실수이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(z+\overline{z}=1\)

\(\quad\)(ㄷ) \(\displaystyle z\overline{z}> \frac{1}{4}\)

응용예제11

1이 아닌 복소수 \(z\)에 대해, \(z^{2021}-1=0\)을 만족한다. 또 다른 복소수 \(\omega\)가 다음을 만족할 때,

\(\quad\)\(\omega=z+z^3+z^5+\cdots + z^{2019}\)

다음 식의 값을 구하시오.

\(\quad\)\(z\overline{\omega}+z^2\overline{\omega}+\cdots+z^{2019}\overline{\omega}\)