정적분으로 정의된 함수

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/정적분으로_정의된_함수

Main article: Leibniz integral rule

미적분의 기본 정리#정적분과 미분의 관계에서, 정적분의 아래끝과 위끝에 변수가 포함되어 있으면, 그 결과는 함수이고, 그 변수에 대한 미분하면, 아래끝과 위끝의 형태에 따라 여러 가지 결과가 나올 수 있습니다.

보통 문제에서, 아래끝과 위끝이 상수이면, 다음과 같이 하나의 문자로 두고 생각하는 것이, 복잡한 식을 간단히 하므로, 더 편합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(t)dt = k\)

그렇지만, 아래끝과 위끝에 변수가 포함되어 있으면, 하나의 숫자가 아니기 때문에, 함수로 바꾸는 과정이 필요합니다.

정적분으로 정의된 함수의 미분

정적분으로 정의된 함수 \(\displaystyle y=\int_a^x f(t)dt\) (\(a\)는 실수)에 대해, 함수 \(f(t)\)의 부정적분 중의 하나를 \(F(t)\)라 하면,

\(\quad\)\(\begin{align}
y'=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt & = \frac{d}{dx}\left[F(t)\right]_a^x \\
& = \frac{d}{dx}\left\{F(x)-F(a)\right\} \\
& =f(x) \\
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
y'=\frac{d}{dx}\int_x^{x+a} f(t)dt & = \frac{d}{dx}\left[F(t)\right]_x^{x+a} \\
& = \frac{d}{dx}\left\{F(x+a)-F(x)\right\} \\
& =f(x+a) - f(x) \\
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
y'=\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} f(t)dt & = \frac{d}{dx}\left[F(t)\right]_x^{x^2} \\
& = \frac{d}{dx}\left\{F(x^2)-F(x)\right\} \\
& =2xf(x^2) - f(x) \\
\end{align}\)

부정적분에 상수를 대입하면, 그 결과가 상수이므로, 미분하면 0입니다. 따라서, 변수를 포함한 아래끝과 위끝을 미분했을 때, 함수가 되고, \(x+k\) 형태가 아닌 경우에 대해, 단순히 대입해서 구할 수는 없는데, 이런 합성함수의 미분에 대해서는 미적분2에서 다루어집니다.

정적분으로 정의된 함수의 극한

위에서 배운 정적분으로 정의된 함수를 일반적인 함수의 표현으로 고치면, 일반적인 극한 문제로 줄어듭니다. 게다가, 대부분 부정형 중에서 \(\frac00\) 꼴을 다루기 때문에, 로피탈의 규칙을 사용해서 극한값을 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_a^x f(t)dt & = \lim_{x \to a} \frac{\left[F(t)\right]_a^x}{x-a} \\
& = \lim_{x \to a} \frac{F(x)-F(a)}{x-a} \\
& = F'(a) = f(a) \\
\end{align}\)

로피탈의 규칙을 사용하면,

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_a^x f(t)dt & = \lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt}{1} \\
& = \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \\
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_a^{x+a} f(t)dt & = \lim_{x \to 0} \frac{\left[F(t)\right]_a^{x+a}}{x} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{F(a+x)-F(a)}{x} \\
& = F'(a) = f(a) \\
\end{align}\)

로피탈의 규칙을 사용하면,

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_a^{x+a} f(t)dt & = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_a^{x+a} f(t)dt}{1} \\
& = \lim_{x \to 0} f(x+a) = f(a) \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

함수 \(\displaystyle f(x)=e^{-x}\int_0^x \sin\left(t^2\right)dt\)에 대하여 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2017학년도 수능 가형 20번]

\(\quad\)ㄱ. \(f\left(\sqrt{\pi}\right) > 0\)
\(\quad\)ㄴ. \(f'(a) > 0\)을 만족시키는 \(a\)의 열린 구간 \((0,\sqrt{\pi})\)에 적어도 하나 존재한다.
\(\quad\)ㄷ. \(f'(b)=0\)을 만족시키는 \(b\)가 열린 구간 \((0,\sqrt{\pi})\)에 적어도 하나 존재한다.