부분 분수 분해

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/부분_분수_분해

Main article: Partial fraction decomposition

부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자 또는 분모의 차수를 낮추는 방법입니다. 원래 분수는 더 낮은 차수의 여러 유리식의 합으로 표시될 수 있습니다. 만약 다항식의 계수가 정수로 이루어져 있다면, 유클리드 호제법 등을 이용할 수 있습니다.

고등학교 교과 과정 중에는 시그마에서 항을 줄이는 방법으로 사용하거나, 분모보다 분자의 차수가 1 적게 만들어서 ln 적분 등에 이용됩니다. 게다가, 분자의 차수를 분모의 차수보다 작게 만드는 것, 즉, 몫과 나머지로 분해하는 것은 직관력을 높여서 문제에 접근법을 보다 쉽게 떠올리게 도와줍니다.

가분수를 대분수로 변형

분자의 차수가 분모보다 같거나 높을 경우, 유리수의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해서, 분자의 차수를 낮출 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 분수

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\)

가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 같거나 높아서 \(f(x) = g(x)Q(x) + R(x)\)와 같이 나눗셈으로 표현하면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}\)

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 \(R(x)\)는 \(g(x)\)보다 차수가 낮아집니다.

분자의 차수가 낮은 경우

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있습니다. 즉, 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}\)

여기서 \(A_1, .... , A_n\)는 모두 항등식의 미정계수로서 몇 가지 방법으로 구할 수 있습니다. 

다음과 같은 예제를 생각해 보십시오.

\(\quad\)\(\displaystyle {x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}\)

여기서 미정계수 \(A, B\)는 항등식의 미정계수법을 통해 구할 수 있습니다.

유용한 공식

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)\)

이 식은 다음 수식을 통분했을 때 분자가 \(B-A\)가 생기기 때문에 앞쪽에 그 역수를 곱해서 항등식을 만듭니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{A} - \frac{1}{B}=\frac{B-A}{A \cdot B}\)

예를 들어 다음과 같이 분해됩니다. 

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\)

이때에는 앞쪽에 만들어지는 식이 상수항이 적은 값으로 해야 곱해지는 숫자가 양수가 됩니다. 반대로 선택하면 다음과 같이 앞에 곱해지는 숫자가 음수가 되기 때문에 다시 한번 전개를 해야 하는 수고로움이 생깁니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)} = -\left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1}\right)\)

마찬가지로, 다음과 같은 공식을 활용할 수도 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)\)

분모의 인수분해 되지 않는 다항식

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해할 수 있습니다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}\)

예를 들어 다음과 같은 경우가 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\)

여기서 분모가 \(x^3-8=(x-2)(x+2x+4)\)로 인수분해되므로 다음과 같이 부분분수식을 만들 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}\)

이제 양변에 분모의 최소공배수를 곱해서 정리한 식에서 미정계수를 정할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle 10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\)

미정계수를 정할 때에는 인수형태가 있기 때문에 \(x=2\)를 양변에 대입해서 \(A\)를 구합니다. 이후에 계수를 대입해도 되지만, 최고차항과 상수항을 비교해서 쉽게 암산이 가능합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}\)

분모의 거듭제곱된 항이 있는 경우

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 부분분수식을 만들 수 있습니다.

예를 들어

\(\quad\)\(\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x+3)^3}\)

인 경우에는 다음과 같이 만듭니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}\)

일반적으로 분모가 이차이면 분자를 일차식으로 만들지만, 거듭제곱이 있는 경우에는 그렇게 만들 필요가 없습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {1 \over (x+3)^2}\)

\(\quad\)\(\displaystyle ={A \over (x+3)}+ {Bx+C \over (x+3)^2}\)

그렇지만, 이 식은 다음과 같이 분자를 바꾸어서 생각할 수도 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle ={A \over (x+3)}+ {D(x+3)+E \over (x+3)^2}\)

\(\quad\)\(\displaystyle ={A+D \over (x+3)}+{E \over (x+3)^2}\)

또한, 다음과 같이 바꾸어서 생각해도 무방합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle ={F \over (x+3)}+{G \over (x+3)^2}\)

그러므로, 분모의 거듭제곱이 있는 경우에는, 구해야 할 미정계수가 가장 적어지지 때문에 분자에 상수항만 둔 형태로 부분분수식을 만듭니다.

이를 응용하여 분모에 이차식이 거듭제곱으로 표현된 경우에는 다음과 같이 부분분수식을 만듭니다.

\(\quad\)\(\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x^2+1)^3}\)

\(\quad\)\(\displaystyle ={A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}\)