지수함수와 로그함수의 극한

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지수함수, 로그함수에서, 해당 그래프의 가장 기본적인 형태와 그의 평행이동, 대칭이동된 그래프를 알아보았습니다. 여기서는 기본 그래프와 평행이동, 대칭이동된 그래프의 극한에 대해 알아보겠습니다.

지수함수의 극한

지수함수는 1이 아닌 양의 밑수를 갖는데, 이것은 등비수열과 매우 유사합니다.

등비수열은 자연수(수열의 위치, 또는 인덱스를 나타내는 것)를 대입하기 때문에, \(n \to \infty\)의 극한을 오직 다루었습니다. 

반면에, 지수함수는 정의역이 실수 전체이고, 연속함수이므로, 유한한 모든 각 점에서 극한값은 함숫값과 동일하고, 극한으로 다루는 것은 \(x \to \infty\) 또는 \(x \to -\infty\)를 다룹니다.

어쨌든, \(x \to \infty\)인 경우에 대해, 등비수열의 극한과 동일합니다. 또는 지수함수의 그래프로부터 생각해도 좋겠습니다.

• \(a>1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} a^x = \infty\)
• \(0<a<1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} a^x = 0\)

한편 \(x \to \infty\)인 경우에 대해, 그래프를 생각하던지, 숫자를 대입한 추이로부터,

• \(a>1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\)
• \(0<a<1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty\)

로그함수의 극한

지수함수와 마찬가지로 로그함수는 연속함수이므로, 유한한 모든 각 점에서 극한값은 함숫값과 동일합니다. 반면에 지수함수와 다르게 로그함수는 정의역의 제한이 있으므로, 정의역의 시작점 0으로 다가가는 극한과 무한대로 가는 2개의 극한에 다룰 필요가 있습니다.

• \(a>1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty\)
• \(0<a<1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty\)

반면에

• \(a>1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty\)
• \(0<a<1\)이면, \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty\)

지수함수와 로그함수의 기본 그래프의 극한은 그래프 자체로 쉽게 접근할 수 있습니다.