입체도형의 부피

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/입체도형의_부피

미적분1에서 다루지 않는 적분의 활용은 입체도형의 부피입니다.

구분구적법에서, 넓이는 같은 무한소의 구간(밑변)과 그때의 각 함숫값(높이)을 곱한 것을 무수히 많이 더한 것으로 구했습니다.

이제, 부피는 같은 무한소의 구간(높이)을 그 때의 각 단면의 넓이를 곱한 것을 무수히 많이 더한 것으로 구해집니다.

예를 들어, 우리가 감자칩을 만들 때, 감자를 잘게(무한소) 많이(무한히) 썰어서, 다시 붙이면 원래의 감자가 됩니다.

이전의 넓이의 구분구적법과 다른 점은 오직 잘린 부분이 높이(함숫값)이 아니라 단면의 넓이로 바뀔 뿐입니다.

구간 [\(a, b\)]를 \(n\) 등분하여 다음과 같이 표현합니다.

\(\quad\)\(x_0(=a),\;x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_{n-1},\;x_n(=b)\)

높이에 해당하는 각각의 소구간의 길이를 \(\Delta x\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \Delta x =\frac{b-a}{n}\)

단면의 넓이는 오른쪽의 \(n\) 개를 선택합니다.

\(\quad\)\(S(x_1),\;S(x_2),\;\cdots,\;S(x_n)\)

따라서, 부피의 합, \(V_n\)은

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
V_n & =S(x_1)\Delta x+S(x_2)\Delta x+\cdots+S(x_n)\Delta x \\
& = \sum_{k=1}^n S(x_k) \Delta x  \\
\end{align}\)

이때, \(n \to \infty\)이면 \(V_n\)은 구하려는 부피 \(V\)에 한없이 가까워지고, 정적분의 정의에 따라, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{n \to \infty} V_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n S(x_k) \Delta x = V \\
& = \int_a^b S(x)dx \\
\end{align}\)

부피에서, 입체도형의 단면에 대한 넓이의 식을 제공하면, 이전의 이차원 공간의 넓이를 구하는 것보다 더욱 쉽습니다. 결국, 입체도형의 부피는 주어진 부피를 구하기 위해, 좌표축을 도입하고, 구할 수 있는 모양의 단면으로 자르는 과정이 필요합니다. 간혹, 교과과정에서 다루지 않는 원통 좌표계 또는 구형 좌표계의 개념이 사용되기도 합니다.

회전 고체의 부피

나무로 된 야구 배트는 어떻게 만들어질까요? 

대충 다듬어진 나무 막대기를 회전하는 기계에 고정시키고 빠르게 회전시키면서, 회전과 수직 방향으로 칼날을 막대기에 서서히 가져가면, 표면이 깎이기 시작합니다. 이때, 경험적으로 수동으로 깎던지, 또는 프로그램으로 막대기의 표면의 함수를 제공함으로써, 야구 배트를 만들 수 있습니다.

이때, 야구 배트를 회전축에 수직으로 자르면, 그의 단면은 원임을 알 수 있습니다.

따라서, 어떤 함수를 구간에서 \(x\)-축으로 회전하면, 그의 \(x\)-축에 수직 단면은 반지름이 함숫값의 절댓값인 원이고, 이것을 구간에서 적분하면, 회전 고체(야구 배트)의 부피를 구할 수 있습니다.

구간 \([a,b]\)에서 연속인 함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)-축의 둘레로 회전하면 생기는 회전 고체의 부피 \(V\)는 다음과 같이 구해집니다.

구간 사이의 \(x\)에서 단면인 원의 반지름은 \(|f(x)|\)이므로, 단면의 넓이 \(S(x)\)는

\(\quad\)\(S(x)=\pi \left\{f(x)\right\}^2\)

따라서, 구하는 회전 고체의 부피 \(V\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
V & = \int_a^b S(x) dx \\
& = \int_a^b \pi y^2 dx \\
& = \pi \int_a^b \left\{f(x)\right\}^2 dx \\
\end{align}\)

예를 들어, 구간 \([0,1]\)에서 곡선 \(y=x^2\)을 \(x\)-축의 둘레로 회전하면 생기는 회전 고체의 부피는?

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
V & = \pi \int_0^1 y^2 dx =\pi \int_0^1 \left(x^2\right)^2 dx \\
& = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_0^1 \\
& = \frac{1}{5}\pi \\
\end{align}\)

아래는 삼차원 고체 형태를 회전해서 만들어지는 새로운 고체를 보여주지만, 수직으로 잘린 단면이 가능 먼 곳에 이르는 직선을 따라 회전한 결과와 같은 고체를 생성합니다.

기본예제

기본예제1

구간 [0,1]의 임의의 점 \(x\)에서 \(x\)-축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 \(S(x)\)가 \(S(x)=2x+3\)인 입체도형의 부피는?

해설: 단면의 넓이에 대한 수식이 주어졌으므로, 부피는 정적분으로 구할 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
V & = \int_0^1 S(x)dx = \int_0^1 (2x+3) dx \\
& = \left[x^2+3x\right]_0^1 = 4\\
\end{align}\)

기본예제2

밑면의 넓이가 \(A\), 높이가 \(h\)인 사각뿔의 부피 \(V\)를 정적분을 이용하여 구해 보십시오.

해설: 이미 알려진 것으로 사각뿔의 부피에 대한 공식은 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot A \cdot h\)

정적분을 하기 위해서, 사각뿔을 어느 방향으로 잘라야 단면의 넓이 \(S(x)\)를 쉽게 표현되는가 하는 것입니다.

그림과 같이 사각뿔의 꼭짓점에 \(\mathrm O\)에서 밑변에 내린 수선을 \(x\)-축으로 정합니다. 꼭짓점 \(\mathrm O\)로부터 거리 \(x\)인 점에서 밑변과 평행하게, 즉, \(x\)-축과 수직으로 단면을 자르면, 그 단면은 밑면과 닮음 도형입니다. 

그러므로, 단면의 넓이 \(S(x)\)는 길이비를 제곱한 넓이비에 따라,

\(\quad\)\(A:S(x)=h^2:x^2\)

이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle S(x)=\frac{A}{h^2}x^2\)

이고, 따라서, 구하는 부피 \(V\)는

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
V & =\int_0^h S(x)dx = \int_0^h \frac{A}{h^2}x^2 dx \\
& = \frac{A}{h^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{1}{3}\cdot A \cdot h \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

그림과 같이 양수 \(k\)에 대하여 곡선 \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{e^x}{e^x+1}}\)과 \(x\)축, \(y\)축 및 직선 \(x=k\)로 둘러싸인 부분을 밑변으로 하고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피가 \(\ln 7\)일 때, \(k\)의 값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 12번]