등비수열의 합

등비수열의 합은 등비수열의 초항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 이르는 말입니다. 등차수열의 합과 마찬가지로 기호 \(S_n\)으로 나타내고 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
r=1, &\quad S_n=n \cdot a_1 \\
r\neq 1, &\quad \displaystyle S_n=\frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}
\end{align}\right.\)

증명

등비급수는 공비 \(r=1\)일 경우에는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
S_n & = a_1 + a_1 + \dots + a_1 + a_1\\
& = n \cdot a_1
\end{align}\)

등비급수는 공비 \(r\neq 1\)일 경우에는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 또한, 이 식에 공비 \(r\)을 곱한 식을 적습니다.

\(\quad\)\(S_n = a_1 + a_1 r + \dots + a_1 r^{n-2} + a_1 r^{n-1}\quad\cdots(1)\)

\(\quad\)\(rS_n = a_1 r+ a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{n-1} + a_1 r^{n}\quad\cdots(2)\)

이 두식의 차이를 구하면, 대부분 같은 항은 사라지고, 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\((1-r)S_n = a_1 - a_1 r^n\)

그러므로 등비급수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \therefore S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\)

여기서 주목할 것은 등비급수의 식에서는 지수가 더해지는 항의 개수 \(n\)의 함수입니다. 그러므로 문제에서 주어지는 지수와 혼동하는 일이 없어야 합니다. 이에 대한 대표적인 예제는 원리합계에서 볼 수 있습니다.

첫째항이 1이고 공비가 양수인 등비수열이 있다. 이 수열의 홀수 번째 항의 합은 341이고, 짝수번째 항의 합은 170입니다. 이 수열의 공비와 항수를 구하여라.