치환적분법

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/치환적분법

Main article: Integration by substitution

합성함수의 미분법에서, \(t=g(x)\)로 두면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\)

로부터,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx}(f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\)

반면에, 미분가능한 함수 \(g(t)\)에 대하여, \(x=g(t)\)로 놓으면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=g'(t) \rightarrow dx = g'(t) dt\)

따라서, 치환적분법은 적분의 변수를 바꿈으로써, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \int f(x) dx= \int f(g(t))g'(t)dt\)

즉, 오른쪽 변의 합성함수로 표현된 적분을 왼쪽의 하나의 변수에 대한 적분으로 바꿀 수 있습니다.

예를 들어, \(\int (2x -6)^5 dx\)에 대해, 다항함수이므로, 비록 시간이 걸릴지라도, 전개한 후, 부정적분의 성질에 의해, 각 항을 적분할 수 있습니다.

반면에 치환적분을 사용하면, \(2x-6=t\)로 두면,

\(\quad\)\(\displaystyle 2dx =dt \rightarrow dx=\frac{1}{2}dt\)

이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int (2x -6)^5 dx & = \int t^5 \cdot \frac{1}{2} dt \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6} t^6 +C \\
& = \frac{1}{12} (2x-6)^6 + C \\
\end{align}\)

기본예제

기본예제1

부정적분 \(\displaystyle \int e^{3x^2-5}6xdx\)에 대해,

\(\quad\)\(3x^2-6=t \rightarrow 6xdx = dt\)

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int e^{3x^2-5}6xdx & = \int e^t dt \\
& = e^t +C \\
& = e^{3x^2-5}+C \\
\end{align}\)

기본예제2

부정적분 \(\displaystyle \int \frac{6x^2+1}{2x^3+x} dx\)에 대해,

\(\quad\)\(2x^3+x = t \rightarrow (6x^2+1)dx=dt\)

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int \frac{6x^2+1}{2x^3+x} dx & = \int \frac{1}{t} dt \\
& = \ln |t| +C \\
& = \ln |2x^3+x| + C \\
\end{align}\)

이 예제에서처럼, \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\)에 대해,

\(\quad\)\(f(x)=t \rightarrow f'(x)dx = dt\)

따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx & = \int \frac{1}{t} dt \\
& = \ln |t| +C \\
& = \ln |f(x)| + C \\
\end{align}\)

만약, \(f(x)\)가 다항함수이면, \(f'(x)\)는 \(f(x)\)보다 차수가 1 낮습니다. 따라서, 부분분수를 참조해서 식을 분리해야 합니다.